Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти частные производные первого порядка функции
Условие:
Найти частные производные первого порядка функции
Решение:
Этот предмет - математический анализ, раздел - частные производные и функции нескольких переменных.
Дано: \[ z = y \ln(x^2 + y^2) \] Найдем частные производные первого порядка функции \( z = f(x, y) \).Частная производная \(\frac{\partial z}{\partial x}\):
1. Рассмотрим функцию: \( z = y \ln(x^2 + y^2) \). 2. Применим правило дифференцирования сложной функции: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y \frac{d}{dx} \ln(x^2 + y^2) \] 3. Производная логарифмической функции: \[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} \] Здесь \( u = x^2 + y^2 \). 4. Производная \(u\) по \(x\): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = 2x \] 5. Подставим всё обратно: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2xy}{x^2 + y^2} \]Частная производная \(\frac{\partial z}{\partial y}\):
1. Рассмотрим функцию: \( z = y \ln(x^2 + y^2) \). 2. Применим правило дифференцирования произведения: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \ln(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial y}{\partial y} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) \] 3. Первый член: \[ \frac{\partial y}{\partial y} = 1 \] 4. Второй член: \[ \frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2} \] 5. Складываем: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \ln(x^2 + y^2) + y \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \ln(x^2 + y^2) + \frac{2y^2}{x^2 + y^2} \] Теперь найдем значения этих частных производных в точке \( C(6; 8) \).В точке \( C(6; 8) \):
Подставим \( x = 6 \) и \( y = 8 \) в частные производные. 1. \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2xy}{x^2 + y^2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{6^2 + 8^2} = \frac{96}{36 + 64} = \frac{96}{100} = 0.96 \] 2. \( \frac{\partial z}{\partial y} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \ln(x^2 + y^2) + \frac{2y^2}{x^2 + y^2} = \ln(36 + 64) + \frac{2 \cdot 8^2}{6^2 + 8^2} = \ln(100) + \frac{128}{100} = \ln(100) + 1.28 = 2 + 1.28 = 3.28 \] Итак, частные производные первого порядка функции \(z = y \ln(x^2 + y^2)\) в точке \(C(6, 8)\) равны: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0.96 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3.28 \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку