Найти частные производные первого порядка функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, частные производные

Задание:

Найти частные производные первого порядка функции \( z = \tan^3(2x - 3y) \) в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \). Для решения задачи нам нужно найти частные производные \( \frac{\partial z}{\partial x} \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} \) функции \( z = \tan^3(2x - 3y) \).

1. Найдем \( \frac{\partial z}{\partial x} \)

Функция \( z = \tan^3(2x - 3y) \) может быть представлена как \( z = [\tan(2x - 3y)]^3 \). Применим правило цепной производной:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3[\tan(2x - 3y)]^2 \cdot \frac{\partial }{\partial x}[\tan(2x - 3y)] \]

Нужна также частная производная от внутренней функции:

\[ \frac{\partial }{\partial x}[\tan(2x - 3y)] = \sec^2(2x - 3y) \cdot \frac{\partial }{\partial x}(2x - 3y) \]

\( \frac{\partial }{\partial x}(2x - 3y) = 2 \), так как производная \( 2x \) по \( x \) равна 2, а производная \( -3y \) по \( x \) равна 0.

Подставляем полученное:

\[ \frac{\partial }{\partial x}[\tan(2x - 3y)] = \sec^2(2x - 3y) \cdot 2 \]

Подставляем всё в нашу первоначальную формулу:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3[\tan(2x - 3y)]^2 \cdot 2 \sec^2(2x - 3y) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 6 \tan^2(2x - 3y) \cdot \sec^2(2x - 3y) \]

2. Найдем \( \frac{\partial z}{\partial y} \)

Используем аналогичный метод. \( z = \tan^3(2x - 3y) \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3[\tan(2x - 3y)]^2 \cdot \frac{\partial }{\partial y}[\tan(2x - 3y)] \]

Нужна также частная производная от внутренней функции:

\[ \frac{\partial }{\partial y}[\tan(2x - 3y)] = \sec^2(2x - 3y) \cdot \frac{\partial }{\partial y}(2x - 3y) \]

\( \frac{\partial }{\partial y}(2x - 3y) = -3 \), так как производная \( 2x \) по \( y \) равна 0, а производная \( -3y \) по \( y \) равна -3.

Подставляем полученное:

\[ \frac{\partial }{\partial y}[\tan(2x - 3y)] = \sec^2(2x - 3y) \cdot (-3) \]

Подставляем всё в нашу первоначальную формулу:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3[\tan(2x - 3y)]^2 \cdot (-3) \sec^2(2x - 3y) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -9 \tan^2(2x - 3y) \cdot \sec^2(2x - 3y) \]

3. Вычислим частные производные в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \)

Подставляем \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( y = \frac{\pi}{6} \):

\[ 2x - 3y = 2\left(\frac{\pi}{6}\right) - 3\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \]

Вычислим значения \( \tan(-\frac{\pi}{6}) \) и \( \sec(-\frac{\pi}{6}) \):

\[ \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ \sec^2(-\frac{\pi}{6}) = \sec^2(\frac{\pi}{6}) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3} \]

Подставляем эти значения в выражения для частных производных:

\[ \frac{\partial z}{\partial x}\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) = 6 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} = 6 \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{4}{3} = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y}\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) = -9 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} = -9 \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{4/3} = -9 \cdot \frac{4}{9} = -4 \]

Ответ:

\[ \frac{\partial z}{\partial x}\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) = \frac{8}{3} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y}\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) = -4 \]