Найти частные производные первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Дана функция:
 z = \cos\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) 

Найдем частные производные первого порядка.

1. Частная производная по x:

Используем правило дифференцирования сложной функции:
 \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) 

Вычисляем производную внутренней функции:
 \frac{d}{dx} \left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) = \frac{6x}{4y^3} = \frac{3x}{2y^3} 

Следовательно,
 \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{3x}{2y^3} 

2. Частная производная по y:

Аналогично, дифференцируем по y:
 \frac{\partial z}{\partial y} = -\sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{d}{dy} \left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) 

Находим производную внутренней функции:
 \frac{d}{dy} \left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) = \frac{3x^2 \cdot (-12y^2)}{16y^6} = -\frac{9x^2}{4y^4} 

Следовательно,
 \frac{\partial z}{\partial y} = \sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{9x^2}{4y^4} 

Ответ:
 \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{3x}{2y^3} 
 \frac{\partial z}{\partial y} = \sin\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right) \cdot \frac{9x^2}{4y^4}