Найти частные производные и полный дифференциал функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Для функции z = f(x, y), где z = x^2y - \frac{y}{x^2}, необходимо найти частные производные по переменным x и y, а также полный дифференциал.

1. Частные производные

Частная производная по x:

Функция z имеет вид: z = x^2y - \frac{y}{x^2}.

Частная производная \frac{\partial z}{\partial x} вычисляется, считая y постоянной:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x^2}\right). 

1. Для первого слагаемого \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy, так как y — константа.
2. Для второго слагаемого: \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(y \cdot x^{-2}) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{-2}) = y \cdot (-2x^{-3}) = -\frac{2y}{x^3}.

Итак:  \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + \frac{2y}{x^3}. 

Частная производная по y:

Частная производная \frac{\partial z}{\partial y} вычисляется, считая x постоянной:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2}\right). 

1. Для первого слагаемого \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2, так как x^2 — константа.
2. Для второго слагаемого: \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2}, так как \frac{1}{x^2} — коэффициент при y.

Итак:  \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - \frac{1}{x^2}. 

2. Полный дифференциал

Полный дифференциал функции z = f(x, y) записывается как:

 dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy. 

Подставляем найденные частные производные:  \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + \frac{2y}{x^3}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - \frac{1}{x^2}. 

Итак:  dz = \left(2xy + \frac{2y}{x^3}\right)dx + \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)dy. 

Ответ:

1. Частные производные:
   • \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + \frac{2y}{x^3},
   • \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - \frac{1}{x^2}.
2. Полный дифференциал:  dz = \left(2xy + \frac{2y}{x^3}\right)dx + \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)dy.