Найти частные производные функции по переменным

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, частные производные функций нескольких переменных.

Задание: Найти частные производные функции \( z = 4xy - 12x^2 - 3y^2 + 8x + 4y \) по переменным \( x \) и \( y \).

1. Частная производная по \( x \) (обозначим ее как \( \frac{\partial z}{\partial x} \)):

   Функция \( z = 4xy - 12x^2 - 3y^2 + 8x + 4y \). Для нахождения частной производной \( \frac{\partial z}{\partial x} \), мы частично дифференцируем \( z \) только по \( x \), принимая \( y \) за константу. Рассмотрим каждый член функции по отдельности:

   • Производная \( 4xy \) по \( x \) будет: \[ \frac{\partial}{\partial x}(4xy) = 4y. \]
   • Производная \( -12x^2 \) по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x}(-12x^2) = -24x. \]
   • Производная \( -3y^2 \) по \( x \) равна нулю, так как в этом выражении нет \( x \).
   • Производная \( 8x \) по \( x \): \[ \frac{\partial}{\partial x}(8x) = 8. \]
   • Производная \( 4y \) по \( x \) равна нулю, так как она не зависит от \( x \).

   Теперь сложим все полученные результаты: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4y - 24x + 8. \]

2. Частная производная по \( y \) (обозначим её как \( \frac{\partial z}{\partial y} \)):

   Теперь дифференцируем функцию \( z = 4xy - 12x^2 - 3y^2 + 8x + 4y \) по \( y \), принимая \( x \) за константу:

   • Производная \( 4xy \) по \( y \) будет: \[ \frac{\partial}{\partial y}(4xy) = 4x. \]
   • Производная \( -12x^2 \) по \( y \) равна нулю, так как в этом выражении нет \( y \).
   • Производная \( -3y^2 \) по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y}(-3y^2) = -6y. \]
   • Производная \( 8x \) по \( y \) равна нулю, так как она не зависит от \( y \).
   • Производная \( 4y \) по \( y \): \[ \frac{\partial}{\partial y}(4y) = 4. \]

   Теперь сложим все результаты: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4x - 6y + 4. \]

Ответ:

1. Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4y - 24x + 8. \]
2. Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4x - 6y + 4. \]