Найти частные производные функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Найдем частные производные функции ( z = f(x, y) ) по переменным ( x ) и ( y ).

Решение

а) ( z = x^4 + 6x^3y^2 - 3y )

Частная производная по ( x ):
 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^4 + 6x^3y^2 - 3y \right) 
Применяем правило дифференцирования степенной функции:
 \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 + 18x^2y^2. 

Частная производная по ( y ):
 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^4 + 6x^3y^2 - 3y \right) 
Производная от ( x^4 ) по ( y ) равна 0, так как ( x^4 ) не зависит от ( y ).
Производная от ( 6x^3y^2 ) по ( y ) с использованием степенного правила:
 \frac{\partial}{\partial y} (6x^3y^2) = 12x^3y. 
Производная от ( -3y ):
 \frac{\partial}{\partial y} (-3y) = -3. 
Итак,
 \frac{\partial z}{\partial y} = 12x^3y - 3. 

б) ( z = x^{\ln(3y - 4)} )

Обозначим
 u = \ln(3y - 4), 
тогда
 z = x^u. 

Частная производная по ( x ):
Применяем правило дифференцирования степенной функции:
 \frac{\partial z}{\partial x} = u x^{u-1}. 
Подставляем ( u = \ln(3y - 4) ):
 \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(3y - 4) \cdot x^{\ln(3y - 4) - 1}. 

Частная производная по ( y ):
Берем логарифмическую производную:
 z = e^{\ln z} = e^{\ln(x^{\ln(3y - 4)})} = e^{\ln(3y - 4) \ln x}. 
Дифференцируем по ( y ):
 \frac{\partial z}{\partial y} = x^{\ln(3y - 4)} \cdot \frac{1}{3y - 4} \cdot 3 \cdot \ln x. 
Итак,
 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3x^{\ln(3y - 4)} \ln x}{3y - 4}. 

Ответ:

 \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 + 18x^2y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 12x^3y - 3. 
 \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(3y - 4) \cdot x^{\ln(3y - 4) - 1}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3x^{\ln(3y - 4)} \ln x}{3y - 4}.