Найти частные производные этой функции по переменным x и y

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (функции нескольких переменных, частные производные)

Рассмотрим выражение:

z = \ln(x^3 + y^3)

Найдём частные производные этой функции по переменным x и y.

1. Частная производная по переменной x:

Применим правило дифференцирования сложной функции:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left[ \ln(x^3 + y^3) \right] = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) 

Поскольку y — константа при дифференцировании по x, получаем:

 \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) = 3x^2 

Итак:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3x^2}{x^3 + y^3} 

2. Частная производная по переменной y:

Аналогично:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{dy} \left[ \ln(x^3 + y^3) \right] = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot \frac{d}{dy}(x^3 + y^3) 

 \frac{d}{dy}(x^3 + y^3) = 3y^2 

Следовательно:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3y^2}{x^3 + y^3} 

Ответ:

Частные производные функции z = \ln(x^3 + y^3):

• По x:
  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3x^2}{x^3 + y^3}

• По y:
  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3y^2}{x^3 + y^3}