Найти частные произвдные функции и их значения в точке А

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, частные производные, градиент, производная по направлению, касательная плоскость

Дана функция:
z = -3x^2 + 2x^2 y + 6y^2 - 3x

Точка:
A(-1, 2)

Вектор направления:
\vec{a} = (4, -3)

1) Найти частные производные функции и их значения в точке A

Частные производные функции z = f(x,y) по x и y:

[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-3x^2 + 2x^2 y + 6y^2 - 3x) ]

[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-3x^2 + 2x^2 y + 6y^2 - 3x) ]

Вычислим по отдельности:

[ \frac{\partial z}{\partial x} = -6x + 4xy - 3 ]

(пояснение: производная -3x^2 по x равна -6x, производная 2x^2 y по x равна 4xy, 6y^2 — константа по x, производная -3x равна -3)

[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 12y ]

(пояснение: производная -3x^2 по y равна 0, производная 2x^2 y по y равна 2x^2, производная 6y^2 по y равна 12y, производная -3x равна 0)

Теперь подставим точку A(-1, 2):

[ \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{A} = -6(-1) + 4(-1)(2) - 3 = 6 - 8 - 3 = -5 ]

[ \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{A} = 2(-1)^2 + 12(2) = 2 + 24 = 26 ]

2) Найти градиент \nabla z в точке A

Градиент функции:

\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)

В точке A:

\nabla z|_A = (-5, 26)

3) Найти производную в точке A по направлению вектора \vec{a} = (4, -3)

Сначала нормируем вектор \vec{a}:

[ |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

Единичный вектор направления:

[ \vec{u} = \left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5} \right) ]

Производная функции по направлению \vec{u} равна скалярному произведению градиента и вектора направления:

[ D_{\vec{u}} z = \nabla z \cdot \vec{u} = (-5, 26) \cdot \left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5} \right) = -5 \cdot \frac{4}{5} + 26 \cdot \frac{-3}{5} = -4 - \frac{78}{5} = -4 - 15.6 = -19.6 ]

4) Составить уравнение касательной плоскости в точке A к поверхности z = f(x,y)

Общее уравнение касательной плоскости:

[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y} (y - y_0) ]

Значение функции в точке A(-1, 2):

[ z_0 = f(-1, 2) = -3(-1)^2 + 2(-1)^2 (2) + 6(2)^2 - 3(-1) = -3 + 4 + 24 + 3 = 28 ]

Подставляем все значения:

[ z - 28 = -5 (x + 1) + 26 (y - 2) ]

Раскрываем скобки:

[ z - 28 = -5x - 5 + 26y - 52 ]

[ z - 28 = -5x + 26y - 57 ]

Переносим 28 вправо:

[ z = -5x + 26y - 57 + 28 = -5x + 26y - 29 ]

Ответы:

1. Частные производные и их значения в точке A:

 \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= -6x + 4xy - 3, \quad \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_A = -5 \ \frac{\partial z}{\partial y} &= 2x^2 + 12y, \quad \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_A = 26 \end{aligned} \right. 

2. Градиент в точке A:

\nabla z|_A = (-5, 26)

3. Производная по направлению вектора \vec{a} в точке A:

D_{\vec{a}} z = -19.6

4. Уравнение касательной плоскости в точке A:

z = -5x + 26y - 29