Найти частную производную функции

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ (Частные производные)

Перед нами стоит задача нахождения частной производной функции \( z \) по переменной \( x \). Рассмотрим функцию:

\[ z = 3x^2 y + 2xy^3 \]

Частная производная функции \( z \) по \( x \) обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial x} \). Это производная функции \( z \) при условии, что \( y \) рассматривается как константа.

Разделим функцию на два слагаемых и дифференцируем их по \( x \).

1. Дифференцируем \( 3x^2 y \) по \( x \):
\[ \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 y) \]

Учитывая, что \( y \) - константа, можем вынести её за знак производной:
\[ \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 y) = y \frac{\partial}{\partial x} (3x^2) \]

Теперь дифференцируем \( 3x^2 \):
\[ \frac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]

Итак, первая часть производной:
\[ y \cdot 6x = 6xy \]

2. Дифференцируем \( 2xy^3 \) по \( x \):
\[ \frac{\partial}{\partial x} (2xy^3) \]

Здесь опять \( y^3 \) рассматривается как константа, поэтому:
\[ \frac{\partial}{\partial x} (2xy^3) = y^3 \frac{\partial}{\partial x} (2x) \]

Дифференцируем \( 2x \):
\[ \frac{\partial}{\partial x} (2x) = 2 \]

Итак, вторая часть производной:
\[ y^3 \cdot 2 = 2y^3 \]

Объединяем обе части для получения полной частной производной:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 6xy + 2y^3 \]

Таким образом, частная производная функции \( z \) по \( x \) равна:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 6xy + 2y^3 \]

Этот результат показывает, как функция \( z \) изменяется по отношению к \( x \) при фиксированном значении \( y \).