Найти частную производную функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Нам нужно найти частную производную функции ( z ) по переменной ( x ), обозначенную как ( z_x' ), для функции:

z = y^3 - 2x^2 + 5xy

Решение:

Частная производная ( z_x' ) вычисляется как производная функции ( z ) по ( x ), при этом переменная ( y ) рассматривается как константа.

1. Запишем функцию: z = y^3 - 2x^2 + 5xy

2. Найдем производную каждого слагаемого:

   • Производная от y^3 по ( x ) равна ( 0 ), так как ( y^3 ) не зависит от ( x ).
   • Производная от -2x^2 по ( x ): \frac{\partial}{\partial x}(-2x^2) = -4x.
   • Производная от 5xy по ( x ): \frac{\partial}{\partial x}(5xy) = 5y, так как ( y ) — константа.

3. Сложим найденные производные: z_x' = 0 - 4x + 5y.

Ответ:

z_x' = -4x + 5y