Найти частные производные

Предмет: Математический анализ
Раздел: Частные производные

Дана функция:
\tan(x+z) = e^{y^2}

Найдем частные производные \frac{\partial z}{\partial x} и \frac{\partial z}{\partial y}.

1. Найдем \frac{\partial z}{\partial x}

Дифференцируем обе части по x:
 \frac{d}{dx} \tan(x+z) = \frac{d}{dx} e^{y^2} 

Используем производную тангенса:
 \sec^2(x+z) \cdot \left( \frac{d}{dx} (x+z) \right) = 0 
Так как e^{y^2} не зависит от x, его производная равна нулю.

 \sec^2(x+z) \cdot (1 + \frac{\partial z}{\partial x}) = 0 

Так как \sec^2(x+z) \neq 0, получаем:
 1 + \frac{\partial z}{\partial x} = 0 

Отсюда:
 \frac{\partial z}{\partial x} = -1 

2. Найдем \frac{\partial z}{\partial y}

Дифференцируем обе части по y:
 \sec^2(x+z) \cdot \left( \frac{d}{dy} (x+z) \right) = \frac{d}{dy} e^{y^2} 

 \sec^2(x+z) \cdot \left( 0 + \frac{\partial z}{\partial y} \right) = 2y e^{y^2} 

Отсюда:
 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y e^{y^2}}{\sec^2(x+z)} 

Так как \sec^2(x+z) = \frac{1}{\cos^2(x+z)}, окончательно получаем:
 \frac{\partial z}{\partial y} = 2y e^{y^2} \cos^2(x+z) 

Ответ:

 \frac{\partial z}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y e^{y^2} \cos^2(x+z)