Найти асимптоты кривой, заданной параметрически

Данный текст относится к математике, конкретно к разделу "Математический анализ". Все задания посвящены теме "Производные", а также затрагивают вопросы анализа функций и асимптот. Рассмотрим решение задания №8, как указано в запросе.

Задание №8

Найти асимптоты кривой, заданной параметрически:

\[ x = \frac{t}{1 - t^2}, \quad y = \frac{t^2}{1 - t^2}. \]

1. Проверка области определения:

Убедимся, что выражения корректны. Знаменатель \(1 - t^2 = 0\) при \(t = \pm1\), то есть в этих точках функции \(x\) и \(y\) не определены.

2. Анализ на асимптоты:

Для поиска асимптот рассмотрим следующие предельные случаи:

• \(t \to \infty\),
• \(t \to -\infty\),
• \(t \to 1^-\),
• \(t \to -1^+\).

Случай 1: \(t \to \infty\) или \(t \to -\infty\)

Для больших значений \(|t|\) знаменатель \(1 - t^2\) доминируется \(t^2\). Разделим числитель и знаменатель каждой функции на \(t^2\):

\[ x = \frac{\frac{t}{t^2}}{\frac{1}{t^2} - 1} = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t^2} - 1} \to 0, \quad (t \to \pm\infty), \]

\[ y = \frac{\frac{t^2}{t^2}}{\frac{1}{t^2} - 1} = \frac{1}{\frac{1}{t^2} - 1} \to -1, \quad (t \to \pm\infty). \]

Следовательно, при \(t \to \pm\infty\) прямая \(y = -1\) является горизонтальной асимптотой.

Случай 2: \(t \to 1^-\) или \(t \to -1^+\)

Когда \(t \to 1^-\), знаменатели \(1 - t^2 \to 0^-\). Рассмотрим поведение функций:

\[ x = \frac{t}{1 - t^2} \to \pm\infty, \quad y = \frac{t^2}{1 - t^2} \to \pm\infty. \]

Для \(t \to 1^-\) или \(t \to -1^+\) обе функции \(x\) и \(y\) стремятся к бесконечности и вертикальной асимптотой не обладают.

Ответ:

\[ y = -1. \]

Единственной асимптотой является горизонтальная прямая: