Найдите точки экстремума квадратичной функции z= x^2 + 2y^2-xy

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ".

Мы будем искать точки экстремума квадратичной функции \( z = x^2 + 2y^2 - xy \). Для этого нам нужно найти частные производные первой и второй мощности, а затем использовать критерий Гессе для квадратичной функции.

1. Найдём частные производные функции:
   • \[ z = x^2 + 2y^2 - xy \]
   • \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y \]
   • \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4y - x \]
2. Найдём критические точки путем решения системы уравнений, приравняв частные производные к нулю:
   • \[ 2x - y = 0 \quad (1) \]
   • \[ 4y - x = 0 \quad (2) \]
   Из уравнения (1) можно выразить \( y \) через \( x \):
   • \[ y = 2x \]
   Теперь подставим это выражение в уравнение (2):
   • \[ 4(2x) - x = 0 \]
   • \[ 8x - x = 0 \]
   • \[ 7x = 0 \]
   • \[ x = 0 \]
   Теперь найдём \( y \):
   • \[ y = 2x = 2(0) = 0 \]
   Таким образом, критическая точка — это (0, 0).
3. Определяем характер критической точки с помощью второго порядка частных производных (Матрица Гессе):
   • \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -1 \]
   Гессиан функции \( H \) на точке (0, 0):
   • \[ H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} \]
   • \[ H = 2 \cdot 4 - (-1) \cdot (-1) = 8 - 1 = 7 \]
   Так как \( H > 0 \) и \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 \), то функция имеет локальный минимум в точке (0, 0).

   Таким образом, точка экстремума функции \( z = x^2 + 2y^2 - xy \) — это локальный минимум в точке (0, 0).