Найдите производную сложной функции

Данное задание относится к математическому анализу, а именно к нахождению производных функции. Функция, с которой мы работаем, это \( y = 2^{\sin^3 x} \).

Для нахождения производной сложной функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием.

Шаг 1. Прологарифмируем функцию:

\[ \ln y = \ln(2^{\sin^3 x}) \]

Шаг 2. Применим свойство логарифма:

\[ \ln y = \sin^3 x \cdot \ln 2 \]

Шаг 3. Теперь дифференцируем обе части по переменной \( x \).

Не забывайте, что производная логарифма — это \( \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 3\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \ln 2 \]

Шаг 4. Выражаем \(\frac{dy}{dx}\):

\[ \frac{dy}{dx} = y \cdot 3\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \ln 2 \]

Шаг 5. Подставляем \( y = 2^{\sin^3 x} \):

\[ \frac{dy}{dx} = 2^{\sin^3 x} \cdot 3\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \ln 2 \]

Таким образом, производная функции \( y = 2^{\sin^3 x} \) равна \( 2^{\sin^3 x} \cdot 3\sin^2 x \cdot \cos x \cdot \ln 2 \).