Найдите объём тела, ограниченного поверхностями

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Векторное и тензорное исчисление" или "Математический анализ" – конкретнее, к разделу "Кратные интегралы и расчет объемов".

Постановка задачи

Нам нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1. \( 9x^2 + 2y^2 + \frac{10}{3} = z \)
2. \( \frac{9}{4}x^2 + y^2 = 1 \)
3. \( z = 3 \)

Решение

1. Приведение уравнений к удобной форме:

   Перепишем уравнения:

   1. \( 9x^2 + 2y^2 + \frac{10}{3} = z \)
   2. \( \frac{9}{4}x^2 + y^2 = 1 \)
   3. \( z = 3 \)

   Нам нужно выразить границы для интегрирования в зависимости от этих уравнений.

2. Исключение переменных:

   Сначала найдём границу для \( z \). Заметим, что \( z = 3 \) является верхней границей в нашем случае. Теперь нужно найти границы для \( x \) и \( y \).

3. Выражение границ интегрирования:

   В уравнении \(\frac{9}{4}x^2 + y^2 = 1\) видно, что оно описывает эллипс в плоскости \( z \). Решим это уравнение относительно \( y \):

   \[ y = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2} \]

   Разрешим уравнение относительно \( x \):

   \[ x = \pm \frac{2}{3} \sqrt{1 - y^2} \]

4. Запись интегрирования:

   Запишем тройной интеграл для вычисления объёма области:

   \[ V = \iiint\limits_T dV \]

   где \( T \) — область, ограниченная нашими поверхностями.

   Область интегрирования будет:

   \[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}}^{\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}} \int_{\frac{10/3 + 9x^2 + 2y^2}{3}}^3 dz \, dy \, dx \]

5. Решение тройного интеграла:

   Начнем с внутреннего интеграла по \( z \):

   \[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}}^{\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}} \left[ z \right]_{\frac{10/3 + 9x^2 + 2y^2}{3}}^3 dy \, dx \]

   Получим:

   \[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}}^{\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}} \left( 3 - \left( \frac{10/3 + 9x^2 + 2y^2}{3} \right) \right) dy \, dx \]

   После упрощения:

   \[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}}^{\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}} \left( 3 - \frac{10}{9} - 3x^2 - \frac{2y^2}{3} \right) dy \, dx \]

6. Интегрирование по \(x\) и \(y\):

   Мы пока не будем содержательно решать этот интеграл аналитически, но можем выразить его в общем виде.

Заключение

Обобщённое выражение для объема:

\[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}}^{\sqrt{1 - \frac{9}{4}x^2}} \left( 3 - \left( \frac{10/3 + 9x^2 + 2y^2}{3} \right) \right) dy \, dx \]

Или можно перейти к полярным координатам для упрощения расчётов.

Итоговый результат нужно разделить на \( \pi \):

\[ \frac{1}{\pi} \times (вычисленное значение объема) \]

Для точного значения объема потребуется решение интеграла.