Найдите обратную функцию к заданной и постройте ее график

Предмет: Математика. Раздел: Анализ, Теория функций, Обратные функции, Тригонометрия.

Задание: Найти обратную функцию к функции \( f(x) = \cos x \), \( x \in [0, 2\pi] \), и построить её график.

1. Нахождение обратной функции:

Обратная функция для \( f(x) = \cos x \) — это та функция, которая находит угол, для которого косинус равен \( y \). Обратной функцией для косинуса является арккосинус:

\[ f^{-1}(y) = \arccos(y) \]

Ваша запись показывает, что рассматривается несколько моментов, связанных с множеством значений обратной функции в зависимости от \( n \in \mathbb{Z} \) (целых чисел):

\[ x = \pm \arccos(y) + 2n\pi \]

То есть, для разных \( n \), функция принимает множество решений (периодичность косинуса). Однако, в задаче ограничение на область определения \( x \in [0, 2\pi] \), поэтому мы выбираем главное значение:

\[ x = \arccos(y) \]

Таким образом, обратная функция на интервале \( [0, 2\pi] \):

\[ f^{-1}(x) = \arccos(x). \]

2. Построение графика.

Для построения графика функции \( f^{-1}(x) = \arccos(x) \), обратим внимание на следующее:

• \( \arccos(x) \) определена на интервале \( x \in [-1, 1] \).
• Для \( x = 1 \), арккосинус принимает значение 0: \( \arccos(1) = 0 \).
• Для \( x = -1 \), арккосинус принимает значение \( \pi \): \( \arccos(-1) = \pi \).
• График начинается в точке \( (1, 0) \), плавно поднимается вверх и достигает \( (\pi, -1) \).

Таким образом, график \( f^{-1}(x) = \arccos(x) \) является убывающей функцией на промежутке \( [-1, 1] \) и лежит между \( 0 \) и \( \pi \).

Результат:

Обратная функция для \( \cos(x) \), \( x \in [0, 2\pi] \), это \( f^{-1}(x) = \arccos(x) \). Ее график можно построить, начав с точки \( (1, 0) \), которая идет к \( (-1, \pi) \), с убывающей тенденцией. Докажите этот процесс для уверенности, решая каждую задачу шаг за шагом.