Найдите обратную функцию и постройте ее график

Предмет: математический анализ (раздел: функции, обратные функции).

В этом задании требуется найти обратную функцию для функции \( f(x) = \cos(x), \, x \in [0; 2\pi] \), а также построить её график.

Шаг 1. Найдем обратную функцию.

Обратная функция получается из исходной путём обмена местами переменных \( x \) и \( y \) в уравнении \( y = f(x) \). Это означает, что мы ищем такую функцию \( x \), чтобы при подстановке \( f^{-1}(x) \) вместо \( f(x) \) результат был равен исходному аргументу \( y \), то есть:

\[ f^{-1}(y) = \text{arccos}(y) \]

Известно, что косинус — это периодическая функция, и для однозначности обратной функции нам важно ограничить область определения. Часто для обратных тригонометрических функций используется ограничение значений угла:

\[ f^{-1}(y) = \arccos(y), \, y \in [-1, 1], \, x \in [0; \pi] \]

То есть обратная функция \( f^{-1}(y) = \arccos(y) \) будет определена для значений \( y \in [-1, 1] \).

Шаг 2. Построим график функции.

1. График функции \( f(x) = \cos(x) \):
   • Для \( x \in [0, 2\pi] \) функция \( \cos(x) \) имеет колебательный вид с максимумом при \( x = 0 \) и минимумом при \( x = \pi \), а затем вновь возрастает до \( x = 2\pi \).
   • Значения изменения \( y = \cos(x) \) лежат на отрезке \( [-1, 1] \).
2. График обратной функции \( f^{-1}(y) = \arccos(y) \):
   • Обратная функция \( \arccos(y) \) определена для \( y \in [-1, 1] \) и принимает значения на отрезке \( [0, \pi] \).
   • Это значит, что для каждого значения \( y \), на который подходит \( \cos(x) \), \( \arccos(y) \) вернёт соответствующий угол \( x \), на котором косинус даёт это значение.
   • График \( y = \arccos(x) \) является уже "прямым" (возрастающим) в сравнении с графиком \( \cos(x) \).

Итог:

- Обратная функция к данной \( f(x) = \cos(x), \, x \in [0, 2\pi] \) является \( f^{-1}(y) = \arccos(y) \), и её область определения ограничена интервалом \( y \in [-1, 1] \).