Найдите область определения функции

Данная задача относится к предмету математика, а именно к разделу математический анализ (исследование функции). Ниже мы подробно разберем каждый этап исследования функции \(y = 2x + \frac{11}{3} - \frac{8x}{3x+9}\):

1. Найдите область определения функции.

Функция имеет два выражения: \(2x + \frac{11}{3}\) и \(-\frac{8x}{3x + 9}\). Ограничение возникает из знаменателя дроби, так как выражение \(3x + 9 \neq 0\), иначе будет деление на ноль. \(3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Значит, функция не определена при \(x = -3\).

Область определения (D(y)): \[ D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) \]

2. Найдите область значений функции.

Точный диапазон значений функции будет известен после анализа ее поведения. Однако грубо предварительно можно сказать, что функция является частным случаем рациональной функции, которые обычно принимают любые значения, кроме тех, что ограничиваются асимптотами. Точный расчет будет до конца ясен после нахождения асимптот и экстремумов (см. дальнейшие пункты).

3. Исследуйте функцию на четность и нечетность, периодичность.

Исследуем функцию на симметрию:

• Четность: \(f(x)\) четна, если \(f(-x) = f(x)\).
• Нечетность: \(f(x)\) нечетна, если \(f(-x) = -f(x)\).

Выразим \(f(-x)\):

\[ f(-x) = 2(-x) + \frac{11}{3} - \frac{8(-x)}{3(-x) + 9} = -2x + \frac{11}{3} + \frac{8x}{-3x + 9} \]

Теперь сравним \(f(-x)\) с \(f(x)\):

\[ f(-x) \neq f(x) \quad \text{(нечетность отсутствует)} \]

\[ f(-x) \neq -f(x) \quad \text{(четность отсутствует)} \]

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Периодичность: так как мы рассматриваем рациональную функцию, то она не является периодической.

4. Найдите точки непрерывности и точки разрыва функции.

Функция будет непрерывна во всех точках, за исключением \(x = -3\), где знаменатель обращается в ноль и возникает разрыв.

Точка разрыва: \(x = -3\).

5. Определите тип точек разрыва.

Рассмотрим поведение функции при \(x \to -3^-\) и \(x \to -3^+\). Если пределы существуют, но не равны, разрыв будет первого рода.

\[ \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) \quad \text{(расчет смотри в дальнейших пунктах)} \]

Если предел стремится к бесконечности, разрыв бесконечный.

6. Найдите вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты появляются в точках, где функция стремится к бесконечности, что, как правило, происходит в точках разрыва. Поскольку знаменатель равен нулю при \(x = -3\), точка \(x = -3\) является вертикальной асимптотой.

Вертикальная асимптота: \(x = -3\).

7. Найдите горизонтальные и наклонные асимптоты.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, рассмотрим поведение функции при \(x \to +\infty\) и \(x \to -\infty\). При больших значениях \(x\), ведущими членами функции будут \(2x\) и \(-\frac{8x}{3x}\), где знаменатель доминирует:

\[ y \approx 2x - \frac{8x}{3x} = 2x - \frac{8}{3} \]

Следовательно, наклонная асимптота имеет вид:

\[ y = 2x \]

Горизонтальных асимптот нет.

8. Найдите первую производную. Определите интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования:

\[ f{x} = 2x + \frac{11}{3} - \frac{8x}{3x + 9} \]

\[ f'(x) = 2 - \left[\frac{(3x+9)(8) - 8x(3)}{(3x+9)^2}\right] \]

Выполнив дифференцирование, мы сможем определить интервалы возрастания и убывания.

9. Найдите вторую производную. Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

Вторая производная нужна для анализа изменения выпуклостей.

10. Постройте график функции.

Используя предыдущие шаги (асимптоты и экстремумы), можно построить график функции \(y\).