Найдите координаты точки Q, являющейся проекцией точки

Это задание относится к предмету "Аналитическая геометрия". Раздел данного предмета — "Преобразования в пространстве".

Пошаговое решение:

1. Определите коэффициенты направления прямой: Прямая задана параметрически как: \[ \frac{x + 4}{1} = \frac{y + 3}{-5} = \frac{z + 4}{3} = t \] Получаем: \[ x = t - 4, \quad y = -5t - 3, \quad z = 3t - 4 \]
2. Обозначим точку \( M_0 \) и ее координаты: Точка \( M_0 \) имеет координаты \( M_0(57, 0, 4) \).
3. Найдите проекцию точки \( M_0 \) на прямую: Координаты точки \( Q \) на прямой следующие: \[ Q = (t - 4, -5t - 3, 3t - 4) \]
4. Найдем параметр \( t \), при котором расстояние от точки \( M_0 \) до прямой минимально (т.е. точка \( Q \) будет проекцией точки \( M_0 \)): Расстояние между точками \( M_0 \) и \( Q \) на прямой задается формулой: \[ d = \sqrt{(t - 4 - 57)^2 + (-5t - 3 - 0)^2 + (3t - 4 - 4)^2} \]
5. Минимизируем квадрат расстояния \( d^2 \). \[ d^2 = (t - 61)^2 + (-5t - 3)^2 + (3t - 8)^2 \] Необходимое минимальное значение достигается при минимизации функции: \[ f(t) = (t - 61)^2 + (-5t - 3)^2 + (3t - 8)^2 \]
6. Выполним дифференцирование этой функции по \( t \) и найдем критическую точку: \[ f(t) = (t - 61)^2 + (-5t - 3)^2 + (3t - 8)^2 \] Найдём производную по \( t \): \[ f'(t) = 2(t - 61) + 2(-5t - 3)(-5) + 2(3t - 8)3 \] \[ f'(t) = 2t - 122 + 50t + 30 + 18t - 48 \] \[ f'(t) = 70t - 140 \] Приравниваем производную к нулю: \[ 70t - 140 = 0 \] \[ 70t = 140 \] \[ t = 2 \]
7. Подставляем \( t = 2 \) в уравнения прямой: \[ x = 2 - 4 = -2 \] \[ y = -5(2) - 3 = -10 - 3 = -13 \] \[ z = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 \] Координаты точки \( Q \): \( (-2, -13, 2) \).

Ответ: (-2, -13, 2)