Найдите коэффициент при x^5 в разложении в ряд Маклорена первообразной для функции хе^x^2

Это задание по математике, в частности по теме разложения функций в ряд Маклорена (или Тейлора в особом случае при \(x = 0\)) из раздела анализа (дифференциальное и интегральное исчисление).

Для того чтобы найти коэффициент при \(x^5\) в разложении функции \(\int x e^{x^2} dx\) в ряд Маклорена, нужно сначала выполнить интегрирование, а затем разложить полученное выражение в ряд.

1. Найдём первообразную функции \(x e^{x^2}\):

Используем подстановку: \(u = x^2\), тогда \(du = 2x dx\) или \(dx = \frac{du}{2x}\).

Подставляем: \[\int x e^{x^2} dx = \int x e^{u} \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C\]

Возвращаясь к переменной \(x\):

\[\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C\]

2. Затем разложим \(e^{x^2}\) в ряд Маклорена:

\[e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}\]

Теперь применим этот ряд к нашему выражению:

\[\frac{1}{2} e^{x^2} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2} \frac{x^{2n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n!}\]

3. Определим коэффициент при \(x^5\):

Среди членов ряда \(\frac{x^{2n}}{2n!}\) нас интересует тот, который при \(x^5\). Понятно, что \(2n\) должно равняться \(5\). Это уравнение не имеет целочисленного решения, так как \(2n = 5\) не имеет натурального корня. Таким образом, коэффициент при \(x^5\) в разложении в ряд Маклорена функции \( \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) равен \(0\).

Ответ: Коэффициент при \(x^5\) равен \(0\).