Найдите коэффициент при х^5 в разложении в ряд Маклорена функцииxe^x^2

Этот вопрос относится к разделу математического анализа, а именно к теме разложения функций в ряды Маклорена.

Функция, которую нужно разложить: \( xe^{x^2} \).

Шаг 1: Напомним общий вид разложения в ряд Маклорена для функции \( e^u \):

\[ e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} \]

где \( u = x^2 \) в нашем случае.

Шаг 2: Подставим \( u = x^2 \):

\[ e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \]

Шаг 3: Теперь умножим это разложение на \( x \):

\[ xe^{x^2} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \]

Шаг 4: Раскроем множитель \( x \):

\[ xe^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{n!} \]

Шаг 5: Нам нужен коэффициент при \( x^5 \). Соответственно, ищем \( 2n+1 = 5 \):

\[ 2n + 1 = 5 \]

\[ 2n = 4 \]

\[ n = 2 \]

Шаг 6: Найдем соответствующий член ряда:

\[ \frac{x^{2(2)+1}}{2!} = \frac{x^5}{2!} \]

где \( 2! = 2 \).

Шаг 7: Итоговый коэффициент при \( x^5 \):

\[ \frac{1}{2} \]

Таким образом, коэффициент при \( x^5 \) в разложении в ряд Маклорена функции \( xe^{x^2} \) равен \( \frac{1}{2} \).