Найдите и изобразите на чертеже область определения функции

Это задание относится к математическому анализу, раздел функций нескольких переменных.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция задана следующим образом: \[ Z = Y - \sqrt{y^2 - x^2} \]

Чтобы определить область определения функции, нам нужно определить все (x,y), для которых данное выражение имеет смысл.

Шаг 2: Исследование подкоренного выражения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, чтобы корень был определён: \[ y^2 - x^2 \geq 0 \]

Шаг 3: Решение неравенства

Рассмотрим неравенство: \[ y^2 - x^2 \geq 0 \]

Для удобства представим его в другом виде: \[ (y - x)(y + x) \geq 0 \]

Эта форма неравенства означает, что произведение двух чисел должно быть неотрицательным. Это возможно в двух случаях:

1. Оба множителя неотрицательны \((y - x) \geq 0\) и \((y + x) \geq 0\)
2. Оба множителя отрицательны \((y - x) \leq 0\) и \((y + x) \leq 0\)

Шаг 4: Разделение на интервалы

1. Если \((y - x) \geq 0\) и \((y + x) \geq 0\):

\[ y \geq x \]

\[ y \geq -x \]

Это означает, что \( y \geq |x| \).

2. Если \((y - x) \leq 0\) и \((y + x) \leq 0\):

\[ y \leq x \]

\[ y \leq -x \]

Это означает, что \( y \leq -|x| \).

Шаг 5: Область определения функции

Таким образом, область определения функции можно записать как: \[ D(Z) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq |x| \text{ или } y \leq -|x| \} \]

Шаг 6: Графическое изображение области

Для графического изображения области определения функции нарисуем на координатной плоскости линии \( y = |x| \) и \( y = -|x| \). Область определения будет включать полуплоскость выше линии \( y = |x| \) и полуплоскость ниже линии \( y = -|x| \).

1. Нарисуйте линию \( y = x \).
2. Нарисуйте линию \( y = -x \).

Эти линии разделяют плоскость на четыре части. Желательные части — это те, которые лежат вне областей, ограниченных этими линиями.

### Финальный чертеж

y |
 |__________ x
 /|    / |
(0,0)  \ |
 \|

На этой плоскости вы должны обозначить области выше и ниже линий \( y = |x| \) и \( y = -|x| \), соответственно. Эти области будут областью определения функции \( Z \).

Таким образом, наша область определения включает в себя две симметричные области, находящиеся выше и ниже диагональных линий \( y = x \) и \( y = -x \).