Найдите экстремум функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — вариационное исчисление

Нам нужно найти экстремум функционала:

F(y) = \int_{0}^{\pi} \left( y'^2 + 4y \cos x - y^2 \right) dx

при граничных условиях:

y(0) = 0, \quad y(\pi) = 0

Шаг 1: Применим уравнение Эйлера–Лагранжа

Функционал имеет вид:

F[y] = \int_{a}^{b} L(x, y, y') dx

где в нашем случае:

L(x, y, y') = y'^2 + 4y \cos x - y^2

Уравнение Эйлера–Лагранжа:

\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) - \frac{\partial L}{\partial y} = 0

Найдем производные:

• \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y'
• \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 2y''
• \frac{\partial L}{\partial y} = 4\cos x - 2y

Подставим в уравнение Эйлера–Лагранжа:

2y'' - (4\cos x - 2y) = 0

или, упростив:

y'' - 2y + 2\cos x = 0

Шаг 2: Решим полученное дифференциальное уравнение

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y'' - 2y = -2\cos x

Решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения:

1. Решим однородное уравнение:

y'' - 2y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm \sqrt{2}

Общее решение однородного:

y_h(x) = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x}

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения

Предположим частное решение в виде:

y_p(x) = A \cos x + B \sin x

Подставим в уравнение:

y_p'' - 2y_p = -2\cos x

Вычислим производные:

• y_p'' = -A \cos x - B \sin x

Подставим:

(-A \cos x - B \sin x) - 2(A \cos x + B \sin x) = -2\cos x

(-3A \cos x - 3B \sin x) = -2 \cos x

Сравниваем коэффициенты:

• -3A = -2 \Rightarrow A = \frac{2}{3}
• -3B = 0 \Rightarrow B = 0

Итак, частное решение:

y_p(x) = \frac{2}{3} \cos x

Шаг 3: Общее решение

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x} + \frac{2}{3} \cos x

Шаг 4: Учитываем граничные условия

y(0) = 0 \Rightarrow C_1 + C_2 + \frac{2}{3} = 0

y(\pi) = 0 \Rightarrow C_1 e^{\sqrt{2}\pi} + C_2 e^{-\sqrt{2}\pi} + \frac{2}{3} \cos \pi = 0

\Rightarrow C_1 e^{\sqrt{2}\pi} + C_2 e^{-\sqrt{2}\pi} - \frac{2}{3} = 0

Решим систему:

1. C_1 + C_2 = -\frac{2}{3}
2. C_1 e^{\sqrt{2}\pi} + C_2 e^{-\sqrt{2}\pi} = \frac{2}{3}

Решая эту систему, можно найти конкретные значения C_1 и C_2.

Ответ:

Функция, при которой достигается экстремум функционала:

y(x) = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x} + \frac{2}{3} \cos x

где C_1 и C_2 определяются из системы:

 \begin{cases} C_1 + C_2 = -\frac{2}{3} \ C_1 e^{\sqrt{2}\pi} + C_2 e^{-\sqrt{2}\pi} = \frac{2}{3} \end{cases} 

Это и есть функция, экстремизирующая заданный функционал при данных граничных условиях.