Найди x'(t)/y'(t)

Дано (задача №584):

\[ x = \frac{2at}{1+t^2} \]
\[ y = \frac{a(1 - t^2)}{1+t^2} \]

Необходимо найти \(\frac{x'(t)}{y'(t)}\). Для этого сначала найдём производные \( x'(t) \) и \( y'(t) \) по переменной \( t \).

1. Находим производную \( x'(t) \)

Используем правило дифференцирования дробей: \[ x = \frac{2at}{1+t^2} \]

Применим правило дифференцирования отношения двух функций: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где \( u = 2at \), а \( v = 1 + t^2 \).

Найдём производные \( u'(t) \) и \( v'(t) \):
\[ u'(t) = 2a \]
\[ v'(t) = 2t \]

Подставляем в формулу: \[ x'(t) = \frac{(2a)(1 + t^2) - (2at)(2t)}{(1 + t^2)^2} \]
\[ x'(t) = \frac{2a(1 + t^2) - 4at^2}{(1 + t^2)^2} \]
\[ x'(t) = \frac{2a + 2at^2 - 4at^2}{(1 + t^2)^2} \]
\[ x'(t) = \frac{2a - 2at^2}{(1 + t^2)^2} \]
\[ x'(t) = \frac{2a(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2} \]

2. Находим производную \( y'(t) \)

Теперь дифференцируем \( y(t) \):
\[ y = \frac{a(1 - t^2)}{1+t^2} \]

Также используем правило дифференцирования дробей, где \( u = a(1-t^2) \) и \( v = 1+t^2 \).

Найдём \( u'(t) \) и \( v'(t) \):
\[ u'(t) = -2at \]
\[ v'(t) = 2t \]

Применим формулу: \[ y'(t) = \frac{(-2at)(1+t^2) - a(1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2} \]
\[ y'(t) = \frac{-2at(1+t^2) - 2at(1-t^2)}{(1+t^2)^2} \]
\[ y'(t) = \frac{-2at - 2at^3 - 2at + 2at^3}{(1+t^2)^2} \]
\[ y'(t) = \frac{-4at}{(1 + t^2)^2} \]

3. Найдём отношение \( \frac{x'(t)}{y'(t)} \)

Теперь подставим найденные выражения для \( x'(t) \) и \( y'(t) \):
\[ \frac{x'(t)}{y'(t)} = \frac{\frac{2a(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2}}{\frac{-4at}{(1 + t^2)^2}} \]

Сократим на \( \frac{1}{(1 + t^2)^2} \) и \( a \):
\[ \frac{x'(t)}{y'(t)} = \frac{2(1 - t^2)}{-4t} \]

Упростим выражение:
\[ \frac{x'(t)}{y'(t)} = \frac{1 - t^2}{-2t} \]

Ответ:

\[ \frac{x'(t)}{y'(t)} = \frac{t^2 - 1}{2t} \]