Найди предел второго порядка

Для решения этого задания нужно найти вторую производную функции \( y = \ln{\left( \sqrt[3]{\sqrt{1+x^2}} \right)} \). Из данной таблицы мы уже видим первую производную: \[ y' = \frac{2x}{3 + 3x^2} \]

Теперь перейдем к поиску второй производной.

Шаг 1: Представление первой производной

Напомним, что производная \(y' = \frac{2x}{3 + 3x^2}\) является результатом дифференцирования исходной функции.

Шаг 2: Производим нахождение второй производной

Используем правило производной частного для нахождения второй производной от \( y' \). Производная частного функции:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

В данном случае:

• \( u = 2x \), тогда \( u' = 2 \);
• \( v = 3 + 3x^2 \), тогда \( v' = 6x \).

Подставляем эти значения в правило производной частного:

\[ y'' = \frac{2(3 + 3x^2) - 2x(6x)}{(3 + 3x^2)^2} \]

Распишем числитель:

\[ y'' = \frac{2(3 + 3x^2) - 12x^2}{(3 + 3x^2)^2} = \frac{6 + 6x^2 - 12x^2}{(3 + 3x^2)^2} = \frac{6 - 6x^2}{(3 + 3x^2)^2} \]

Итог:

\[ y'' = \frac{6(1 - x^2)}{(3 + 3x^2)^2} \]

Таким образом, вторая производная \( y \) равна: \[ y'' = \frac{6(1 - x^2)}{(3 + 3x^2)^2} \]