Найди предел второго порядка

Для решения этого задания нужно найти вторую производную функции $\text{(}y=\ln \left(\sqrt[3]{\sqrt{1+x^2}}\right)\text{)}$. Из данной таблицы мы уже видим первую производную: $\text{[}{y}^{\prime }=\frac{2x}{3+3x^2}\text{]}$

Теперь перейдем к поиску второй производной.

Шаг 1: Представление первой производной

Напомним, что производная $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{2x}{3+3x^2}\text{)}$ является результатом дифференцирования исходной функции.

Шаг 2: Производим нахождение второй производной

Используем правило производной частного для нахождения второй производной от $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$. Производная частного функции:

$\text{[}{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\text{]}$

В данном случае:

• $\text{(}u=2x\text{)}$, тогда $\text{(}{u}^{\prime }=2\text{)}$;
• $\text{(}v=3+3x^2\text{)}$, тогда $\text{(}{v}^{\prime }=6x\text{)}$.

Подставляем эти значения в правило производной частного:

$\text{[}{y}^{″}=\frac{2(3+3x^2)-2x(6x)}{(3+3x^2{)}^2}\text{]}$

Распишем числитель:

$\text{[}{y}^{″}=\frac{2(3+3x^2)-12x^2}{(3+3x^2{)}^2}=\frac{6+6x^2-12x^2}{(3+3x^2{)}^2}=\frac{6-6x^2}{(3+3x^2{)}^2}\text{]}$

Итог:

$\text{[}{y}^{″}=\frac{6(1-x^2)}{(3+3x^2{)}^2}\text{]}$

Таким образом, вторая производная $\text{(}y\text{)}$ равна: $\text{[}{y}^{″}=\frac{6(1-x^2)}{(3+3x^2{)}^2}\text{]}$