Найди предел без лопиталя и ряда тейлора

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету математический анализ, а именно — к разделу, который изучает пределы функций.

Задание:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x^2 - 16}} \]

1. Анализ поведения выражения при \( x \to 4 \)

Подставим \( x = 4 \) прямо в выражение:

\[ \frac{\sqrt{4} - 2}{\sqrt[3]{4^2 - 16}} = \frac{2 - 2}{\sqrt[3]{16 - 16}} = \frac{0}{\sqrt[3]{0}} = \frac{0}{0} \]

Мы получили неопределённость \( \frac{0}{0} \), поэтому нужно искать способы ее устранения.

2. Устранение неопределённости

Рассмотрим числитель:

\[ \sqrt{x} - 2 \]

Эквивалентное выражение для этой разности можно получить с помощью рационализации числителя, то есть умножения на сопряжённое выражение \( \sqrt{x} + 2 \):

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x^2 - 16}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)\sqrt[3]{x^2 - 16}} \]

Используем формулу разности квадратов в числителе:

\[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4 \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} + 2)\sqrt[3]{x^2 - 16}} \]

Рассмотрим знаменатель:

Теперь займёмся преобразованием знаменателя.

\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]

После этого заменим знаменатель:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} + 2)\sqrt[3]{(x - 4)(x + 4)}} \]

Теперь можно сократить на \( x - 4 \) сверху и снизу:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)\sqrt[3]{x + 4}} \]

3. Подстановка предельного значения \( x = 4 \)

Теперь можем подставить \( x = 4 \) прямо в выражение:

\[ \frac{1}{(\sqrt{4} + 2)\sqrt[3]{4 + 4}} = \frac{1}{(2 + 2)\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x^2 - 16}} = \frac{1}{8} \]