Найдем предел с использованием правила Лопиталя

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, пределы

Найдем предел \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\cot^2 x} с использованием правила Лопиталя.

Шаг 1: Преобразование выражения

Преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов:  (\cos x)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \cdot \ln(\cos x)}. 

Теперь задача сводится к нахождению предела:  \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\cot^2 x} = e^{\lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \ln(\cos x)}. 

Обозначим:  L = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \ln(\cos x). 

Шаг 2: Упрощение логарифма

Распишем \ln(\cos x) вблизи нуля:  \ln(\cos x) \approx -\frac{x^2}{2}, \, \text{при } x \to 0. 

Подставим это в выражение для L:  L = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right). 

Шаг 3: Выражение через основные функции

Преобразуем \cot^2 x:  \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}. 

Таким образом,  L = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right). 

Для предела \cos^2 x \to 1 при x \to 0, поэтому:  L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{2 \sin^2 x}. 

Шаг 4: Применение правила Лопиталя

Поскольку \sin^2 x \sim x^2 при x \to 0, то:  \frac{x^2}{\sin^2 x} \to 1. 

Следовательно:  L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{2 \sin^2 x} = \frac{-1}{2}. 

Шаг 5: Итоговый результат

Теперь вернемся к исходному пределу:  \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\cot^2 x} = e^L = e^{-\frac{1}{2}}. 

Ответ:  \boxed{e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}}.