Нарисуйте линию уровня для функции двух переменных проходящую через точку

Определение предмета:

Решение:

1. Функция уровня: Линии уровня \( f(x, y) \) задаются уравнением вида \( f(x, y) = C \), где \( C \) — это некоторое фиксированное значение. Подставим функцию: \[ f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2 \] Уравнение линии уровня становится: \[ x^2 - 2xy + y^2 = C. \]
2. Находим \( С \), чтобы линия уровня проходила через точку \( (1, 2) \): Подставим \( x = 1, y = 2 \) в исходное выражение для функции: \[ f(1, 2) = 1^2 - 2(1)(2) + 2^2 = 1 - 4 + 4 = 1. \] Таким образом, \( C = 1 \). Линия уровня, проходящая через точку \( (1, 2) \), задаётся уравнением: \[ x^2 - 2xy + y^2 = 1. \]
3. Упростим уравнение линии уровня: Уравнение \( x^2 - 2xy + y^2 = 1 \) можно переписать в виде: \[ (x-y)^2 = 1. \] Отсюда: \[ x - y = \pm 1. \] Это две прямые: \[ x - y = 1 \quad \text{и} \quad x - y = -1. \]
4. Семейство линий уровня: Семейство линий уровня функции \( f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2 \) представляют собой семейство параллельных прямых вида: \[ x - y = \pm \sqrt{C}, \] где \( C > 0 \). Такое семейство представляет собой множество прямых, параллельных направлению \( x = y \).

Ответ:

• Линия уровня, проходящая через точку \( (1, 2) \): это две прямые: \[ x - y = 1 \quad \text{и} \quad x - y = -1. \]
• Семейство линий уровня для функции \( f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2 \) представляют собой параллельные прямые вида \( x - y = \pm \sqrt{C} \).

Данное задание относится к разделу математики, подразделу анализа функций многих переменных.