Написать уравнение нормали и касательной по графику функции заданной параметрически

Конечно! Определим предмет, подраздел, решим задание и подробно всё объясним.

Определение предмета и раздела:

Судя по заданию, это относится к математике, а точнее к подразделу аналитическая геометрия/математический анализ, раздел "Исследование кривых и дифференциальное исчисление". Мы будем работать с написанием уравнения касающейся прямой и нормали к графику функции, заданной параметрически.

Решение задачи:

Формулы и последовательность:

Пусть функция задана в параметрическом виде: \[ x = x(t), \quad y = y(t), \], где \( t \) — параметр.

1. Уравнение касательной:
   Уравнение касательной может быть записано в общем виде в точке \( t_0 \): \[ y - y(t_0) = k_c \cdot (x - x(t_0)), \], где \( k_c \) — это угловой коэффициент (наклон) касательной линии.
   Угловой коэффициент касательной \( k_c \) определяется как:
   \[ k_c = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \] при условии, что \(\frac{dx}{dt} \neq 0\).
2. Уравнение нормали:
   Уравнение нормали можно записать как: \[ y - y(t_0) = -\frac{1}{k_c} \cdot (x - x(t_0)), \] при условии, что \( k_c \neq 0 \).

Пример:

Рассмотрим параметрически заданную функцию:
\[ x = t^2, \quad y = t^3. \]

Найдём касательную и нормаль в точке, соответствующей \( t_0 = 1 \).

1. Определим координаты точки \( (x(t_0), y(t_0)) \):
   \[ x(1) = 1^2 = 1, \quad y(1) = 1^3 = 1. \]
   Тогда точка касания \( (1, 1) \).
2. Вычислим производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \):
   \[ \frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2. \]
3. Подставим \( t_0 = 1 \) в производные:
   \[ \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1} = 2 \cdot 1 = 2, \quad \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = 3 \cdot 1^2 = 3. \]
4. Найдём угловой коэффициент касательной \( k_c \):
   \[ k_c = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3}{2}. \]
5. Составим уравнение касательной:
   Уравнение: \[ y - y_0 = k_c \cdot (x - x_0), \] подставляем \( k_c = \frac{3}{2}, \, (x_0, y_0) = (1, 1) \):
   \[ y - 1 = \frac{3}{2} (x - 1). \]
   Приведём в стандартный вид:
   \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}. \]
6. Составим уравнение нормали:
   Уравнение: \[ y - y_0 = -\frac{1}{k_c} \cdot (x - x_0), \] подставляем \( k_c = \frac{3}{2}, \, (x_0, y_0) = (1, 1) \):
   \[ y - 1 = -\frac{1}{\frac{3}{2}}(x - 1). \]
   Посчитаем \(-\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}\), тогда:
   \[ y - 1 = -\frac{2}{3} (x - 1). \]
   Приведём в стандартный вид:
   \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}. \]

Ответ:

1. Уравнение касательной: \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}. \]
2. Уравнение нормали: \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, пожалуйста, пишите!