Написать уравнение касательной к кривой £=1 sin nx в точке х = 0

Это задание относится к предмету «Математика», разделу «Математический анализ», в частности к теме нахождения касательной к кривой.

Для написания уравнения касательной к кривой \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\) в точке \(x = 0\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке \(x = 0\).
2. Найти первую производную функции.
3. Вычислить значение первой производной функции в точке \(x = 0\).
4. Использовать общее уравнение касательной: \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\), где \(a = 0\).

Шаг 1: Найти значение функции в точке \(x = 0\).

Функция \(f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\). Подставим \(x = 0\):

\[ f(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(0)}{n^3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{0}{n^3} = 0 \]

Шаг 2: Найти первую производную функции.

Для нахождения первой производной функции суммируем производные слагаемых:

\[ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(nx)}{n^3} \right) \]

Применим правило цепочки:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(nx)}{n^3} \right) = \frac{1}{n^3} \cdot n \cos(nx) = \frac{\cos(nx)}{n^2} \]

Таким образом,

\[ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \]

Шаг 3: Вычислить значение первой производной функции в точке \(x = 0\).

Подставим \(x = 0\):

\[ f'(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(0)}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]

Сумма ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) является известной и равна \(\frac{\pi^2}{6}\).

Таким образом,

\[ f'(0) = \frac{\pi^2}{6} \]

Шаг 4: Использовать общее уравнение касательной.

Используем уравнение касательной:

\[ y = f(a) + f'(a)(x - a) \]

где \(a = 0\), \(f(0) = 0\), и \(f'(0) = \frac{\pi^2}{6}\):

\[ y = 0 + \frac{\pi^2}{6} \cdot x \]

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

\[ y = \frac{\pi^2}{6} x \]

Ответ: уравнение касательной к кривой \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\) в точке \(x = 0\) есть \(y = \frac{\pi^2}{6} x\).