Написать уравнение касательной к кривой

Определим предмет:

Это задача из математического анализа, раздел "Дифференциальное исчисление". В частности, задача связана с нахождением уравнения касательной для кривой, заданной параметрически.

Задача:

1. Дана кривая с параметрическими уравнениями: \[ x = \sqrt{2} \cos^3 t, \quad y = \sqrt{2} \sin^3 t \]. Нужно найти уравнение касательной в точке \(( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} )\).

Решение:

1. Проверим, соответствует ли точка \((x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) какому-либо значению параметра \(t\).

Имеем: \[ x = \sqrt{2} \cos^3 t, \quad y = \sqrt{2} \sin^3 t. \]

Подставим \((x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\):

\[ \sqrt{2} \cos^3 t = \frac{1}{2}, \quad \sqrt{2} \sin^3 t = \frac{1}{2}. \]

Разделим обе стороны каждого уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[ \cos^3 t = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \quad \sin^3 t = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \]

Так как \(\cos^3 t = \sin^3 t\), то \(\cos t = \sin t\), что соответствует углу \(t = \frac{\pi}{4}\) (так как \(\cos t\) и \(\sin t\) равны в первой четверти).

Следовательно, \(t = \frac{\pi}{4}\).

2. Найдём производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\) (параметрические уравнения).

Производная \(x(t)\): \[ x(t) = \sqrt{2} \cos^3 t, \] по правилу дифференцирования сложной функции:

\[ x'(t) = \sqrt{2} \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3\sqrt{2} \cos^2 t \sin t. \]

Производная \(y(t)\): \[ y(t) = \sqrt{2} \sin^3 t, \] по правилу дифференцирования сложной функции:

\[ y'(t) = \sqrt{2} \cdot 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 3\sqrt{2} \sin^2 t \cos t. \]

3. Найдём угловой коэффициент касательной (производную \(\frac{dy}{dx}\)).

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}. \]

Подставляем выражения для \(x'(t)\) и \(y'(t)\):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{2} \sin^2 t \cos t}{-3\sqrt{2} \cos^2 t \sin t}. \]

Упростим:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{-\cos t} = -\tan t. \]

Подставляем \(t = \frac{\pi}{4}\):

\[ \tan \frac{\pi}{4} = 1 \implies -\tan \frac{\pi}{4} = -1. \]

4. Уравнение касательной.

Общее уравнение прямой имеет вид: \[ y - y_0 = k (x - x_0), \] где \(k = -1\), \((x_0, y_0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

Подставляем: \[ y - \frac{1}{2} = -1 \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right). \]

Упростим: \[ y - \frac{1}{2} = -x + \frac{1}{2}. \]

\[ y = -x + 1. \]

Ответ:

Уравнение касательной: \[ y = -x + 1. \]

Угловой коэффициент касательной равен \(-1\).