Найти предел.

Пример 1:

Требуется доказать, что при любом: ;

для всех х.

Как это соотносится с теоремой Гливенко – Кантелли.

Решение от преподавателя:

Вспомним что такое эмпирическая функция распределения Fn(x) - это функция, которая определяет для каждого значения х относительную частоту события Х.

А теоретическая функция F(х) – определяет вероятность события Х.

Теорема Гливенко – Кантелли говорит о том, что выборочная функция распределения стремится к ее теоретическому аналогу, если будет увеличен объем выборки.

Следовательно, мы можем записать теорему, которая связывает между собой эмпирическую и теоретическую функции.

Если Fn(x) – эмпирическая функция распределения, а F(x) – теоретическая функция распределения генеральной выборки, тогда непременно будет выполняться равенство:

Если х1, х2…хn – выборка значений случайной величины х, тогда эмпирической функцией распределения называется функция, действительного аргумента хi (-∞; +∞), обозначаемая через Fn(x), равная относительной частоте выборочных знаний, меньше числа х, тогда:

Где n – это объем выборки значений случайной величины х, а nх – это количество выборочных значений, которые удовлетворяют равенству Х < х, хi (-∞; +∞).

Таким образом, относительная частота значений случайной величины х, которые удовлетворяют неравенству Х < х, в выборке объема n стремится к вероятности выполнения этого неравенства, то при n - ∞.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что эмпирическая функция распределения стремится к теоретической. Чем больше будет объем выборки, тем точнее можно оценить теоретическое распределение выборочными данными. Данный вывод и обосновывается теоремой Гливенко.

Если Fn(x) и F(x) теоретическая и эмпирическая функции распределения для выборки объема n, то для любого .