Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование)

Пример 1:

Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

Решение от преподавателя:

Подкоренное  выражением должно быть неотрицательным:  и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Сначала чертим линию, которую задаёт соответствующее равенство. Уравнение  определяет окружность с центром в начале координат радиуса 3, которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

Возьмем произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство .

Возьмем точку (0;0)

Получено верное неравенство, таким образом, точка (0;0) удовлетворяет  неравенству  . Более того, данному неравенству удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внутренняя его часть.

В каждой точке (х; у) заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция

представляет собой следующую поверхность:

Если мы возьмём любую точку (х; у), принадлежащую кругу – то поверхность там будет (т.к. существует «зет»), о чём и говорит отсутствие пробела в середине рисунка.