Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пример 1:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a, b].

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, если

Решение от преподавателя:

Находим первую производную функции:

Приравниваем ее к нулю:

Данная критическая точка принадлежит интервалу

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке x=1.   

 

Пример 3:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x)  на заданном отрезке [a;b]:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение от преподавателя:

Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.

1. Находим стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее к нулю

2) Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.

Найденная точка х =-1 принадлежат отрезку [-3; 3].

Найденная точка х =3 принадлежат отрезку [-3; 3].

Найдем значение функции в стационарной точке и на концах отрезка.

3) Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение: y(3) = 3.

Наименьшее значение: y(-1) = 1.

Ответ: y_наиб =3,   y_наим =1.

Пример 5:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

 

на отрезке [-6; -1].

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение от преподавателя:

Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.

1. Находим стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее к нулю

2) Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.

Найденная точка х = e принадлежат отрезку 

Найдем значение функции в стационарной точке и на концах отрезка.

3) Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее значение: y(e²) = 2e²

Наименьшее значение: y() =

Ответ: y_наиб = 2e² ,   y_наим =

Пример 7:

Определить производную функции  в точке х₀ = - 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 3] и соответствующие  значения аргумента.

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение от преподавателя:

Функция определена на всем отрезке.

Находим производную:

Вычисляем значение функции в этой точке, принадлежащих заданному интервалу:

Находим значение функции на границах:

Наименьшее значение функция достигает в точке x=1 и x=5

Наибольшее значение функция достигает в точке x=2.

Ответ:

Пример 9:

Решение от преподавателя:

 

Пример 10:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

Решение от преподавателя:

В этой задаче используется теорема о том, что непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке: либо в критических точках, где производная обращается в нуль или не существует; либо на концах отрезка. Таким образом, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, необходимо найти её значения в критических точках и на концах отрезка, а затем сравнить эти значения.

Найдем производную данной функции

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки

Точка x=2 заданному отрезку.

Вычислим значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения, можем заключить, что наибольшее значение равно f(4) = 54, а наименьшее значение равно f(2) = 46.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно f(4) = 54.

           Наименьшее значение функции на отрезке равно f(2) = 46.