Нахождении предела функции

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету математика, а точнее к разделу математического анализа, изучающему пределы функций. Задание состоит в нахождении предела функции \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\text{tg}^2(x)}}{{3x^2}} \). Для решения задачи на нахождение предела мы можем использовать известный предел \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). Тангенс (tg) может быть выражен через синус и косинус: \( \text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Тогда \( \text{tg}^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \). Подставим это в наш предел: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}}{{3x^2}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{3x^2 \cos^2(x)}} \] Теперь заметим, что \(\cos(x)\) при \(x\) стремящемся к 0 стремится к 1, поэтому мы можем вынести \(\cos^2(x)\) из-под знака предела, поскольку \(\cos(0) = 1\): \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{3x^2}} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1}{{\cos^2(0)}} \cdot \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{3x^2}} \] Теперь, учитывая что \(\cos(0) = 1\), мы имеем: \[ \frac{1}{{1}} \cdot \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{3x^2}} \] Рассмотрим предел \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} \), который равен 1. Если возведем числитель и знаменатель в квадрат, мы получим \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{x^2} \), который также будет равен 1: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{3x^2}} = \frac{1}{3} \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^2(x)}}{{x^2}} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \] Таким образом, предел данной функции при \(x\) стремящемся к 0 равен \( \frac{1}{3} \).