Нахождении длины дуги кривой, заданной параметрически

Предмет: математика. Раздел: математический анализ, раздел криволинейных интегралов и длины дуги кривой.

Задача заключается в нахождении длины дуги кривой, заданной параметрически: $\text{[}x=3,5(2\cos t-\cos 2t),\text{]}$ $\text{[}y=3,5(2\sin t-\sin 2t),\text{]}$ $\text{[}0\le t\le \frac{\pi }{2}.\text{]}$

Формула длины дуги кривой:

Для кривой, заданной параметрически уравнениями $\text{(}x(t)\text{)}$ и $\text{(}y(t)\text{)}$, длина дуги на интервале от $\text{(}{t}_0\text{)}$ до $\text{(}{t}_1\text{)}$ вычисляется по следующей формуле: $\text{[}L={\int }_{t_0}^{t_1}\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.\text{]}$

Шаг 1: Найдём производные $\text{(}\frac{dx}{dt}\text{)}$ и $\text{(}\frac{dy}{dt}\text{)}$.

Для начала найдём производную по параметру $\text{(}t\text{)}$ функции $\text{[}x(t)=3,5(2\cos t-\cos 2t).\text{]}$

Вычислим $\text{(}\frac{dx}{dt}\text{)}$: $\text{[}\frac{dx}{dt}=3,5(-2\sin t+2\sin 2t).\text{]}$

Аналогично, найдём производную по параметру $\text{(}t\text{)}$ функции $\text{[}y(t)=3,5(2\sin t-\sin 2t).\text{]}$

Вычислим $\text{(}\frac{dy}{dt}\text{)}$: $\text{[}\frac{dy}{dt}=3,5(2\cos t-2\cos 2t).\text{]}$

Шаг 2: Подставим производные в формулу для длины дуги.

Теперь подставляем найденные выражения в формулу для длины дуги: $\text{[}L={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{(3,5(-2\sin t+2\sin 2t))}^2+{(3,5(2\cos t-2\cos 2t))}^2}dt.\text{]}$

Вынесем $\text{(}3,5\text{)}$ из-под корня за знак интеграла: $\text{[}L=3,5{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{((-2\sin t+2\sin 2t))}^2+{((2\cos t-2\cos 2t))}^2}dt.\text{]}$

Упростим под знаком корня. Обозначим подынтегральное выражение: $\text{[}{((-2\sin t+2\sin 2t))}^2+{((2\cos t-2\cos 2t))}^2.\text{]}$

Раскроем квадраты: $\text{[}(-2\sin t+2\sin 2t{)}^2=4{\sin }^{2}t-8\sin t\sin 2t+4{\sin }^{2}2t,\text{]}$ $\text{[}(2\cos t-2\cos 2t{)}^2=4{\cos }^{2}t-8\cos t\cos 2t+4{\cos }^{2}2t.\text{]}$

Теперь просуммируем эти выражения: $\text{[}4{\sin }^{2}t+4{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}2t+4{\cos }^{2}2t-8(\sin t\sin 2t+\cos t\cos 2t).\text{]}$

Используем тождество суммы квадратов синуса и косинуса: $\text{[}{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1,{\sin }^{2}2t+{\cos }^{2}2t=1.\text{]}$

Таким образом, выражение упрощается: $\text{[}=4(1)+4(1)-8(\sin t\sin 2t+\cos t\cos 2t).\text{]}$

Используем формулу для косинусов: $\text{[}\sin t\sin 2t+\cos t\cos 2t=\cos (t-2t)=\cos (-t)=\cos t.\text{]}$

Таким образом, выражение примет вид: $\text{[}8-8\cos t=8(1-\cos t).\text{]}$

Шаг 3: Интегрируем.

Теперь наша задача решена до конечного вида, осталось лишь вычислить интеграл: $\text{[}L=3,5{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{8(1-\cos t)}dt.\text{]}$

Упростим корень: $\text{[}L=3,5{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\sqrt{2(1-\cos t)}dt=7\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-\cos t}dt.\text{]}$

Используем стандартное преобразование для $\text{(}1-\cos t\text{)}$, зная, что: $\text{[}1-\cos t=2{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right),\text{]}$ получаем: $\text{[}L=7\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{2}|\sin \left(\frac{t}{2}\right)|dt=14{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{t}{2}\right)dt.\text{]}$

В результате после интегрирования получаем: $\text{[}L=14\cdot 2=28.\text{]}$

Ответ:

Длина дуги кривой равна $\text{(}L=28\text{)}$.