Нахождении длины дуги кривой, заданной параметрически

Предмет: математика. Раздел: математический анализ, раздел криволинейных интегралов и длины дуги кривой.

Задача заключается в нахождении длины дуги кривой, заданной параметрически: \[ x = 3,5(2 \cos t - \cos 2t), \] \[ y = 3,5(2 \sin t - \sin 2t), \] \[ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}. \]

Формула длины дуги кривой:

Для кривой, заданной параметрически уравнениями \(x(t)\) и \(y(t)\), длина дуги на интервале от \(t_0\) до \(t_1\) вычисляется по следующей формуле: \[ L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt. \]

Шаг 1: Найдём производные \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\).

Для начала найдём производную по параметру \(t\) функции \[x(t) = 3,5(2 \cos t - \cos 2t).\]

Вычислим \(\frac{dx}{dt}\): \[\frac{dx}{dt} = 3,5(-2 \sin t + 2 \sin 2t).\]

Аналогично, найдём производную по параметру \(t\) функции \[y(t) = 3,5(2 \sin t - \sin 2t).\]

Вычислим \(\frac{dy}{dt}\): \[\frac{dy}{dt} = 3,5(2 \cos t - 2 \cos 2t).\]

Шаг 2: Подставим производные в формулу для длины дуги.

Теперь подставляем найденные выражения в формулу для длины дуги: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left( 3,5(-2 \sin t + 2 \sin 2t) \right)^2 + \left( 3,5(2 \cos t - 2 \cos 2t) \right)^2} dt. \]

Вынесем \(3,5\) из-под корня за знак интеграла: \[ L = 3,5 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left( (-2 \sin t + 2 \sin 2t) \right)^2 + \left( (2 \cos t - 2 \cos 2t) \right)^2} dt. \]

Упростим под знаком корня. Обозначим подынтегральное выражение: \[ \left( (-2 \sin t + 2 \sin 2t) \right)^2 + \left( (2 \cos t - 2 \cos 2t) \right)^2. \]

Раскроем квадраты: \[ (-2 \sin t + 2 \sin 2t)^2 = 4 \sin^2 t - 8 \sin t \sin 2t + 4 \sin^2 2t, \] \[ (2 \cos t - 2 \cos 2t)^2 = 4 \cos^2 t - 8 \cos t \cos 2t + 4 \cos^2 2t. \]

Теперь просуммируем эти выражения: \[ 4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t + 4 \sin^2 2t + 4 \cos^2 2t - 8 (\sin t \sin 2t + \cos t \cos 2t). \]

Используем тождество суммы квадратов синуса и косинуса: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1, \quad \sin^2 2t + \cos^2 2t = 1. \]

Таким образом, выражение упрощается: \[ = 4(1) + 4(1) - 8 (\sin t \sin 2t + \cos t \cos 2t). \]

Используем формулу для косинусов: \[ \sin t \sin 2t + \cos t \cos 2t = \cos(t - 2t) = \cos(-t) = \cos t. \]

Таким образом, выражение примет вид: \[ 8 - 8 \cos t = 8(1 - \cos t). \]

Шаг 3: Интегрируем.

Теперь наша задача решена до конечного вида, осталось лишь вычислить интеграл: \[ L = 3,5 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{8(1 - \cos t)} \, dt. \]

Упростим корень: \[ L = 3,5 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt = 7 \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \cos t} \, dt. \]

Используем стандартное преобразование для \(1 - \cos t\), зная, что: \[ 1 - \cos t = 2 \sin^2 \left( \frac{t}{2} \right), \] получаем: \[ L = 7 \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \left| \sin \left( \frac{t}{2} \right) \right| dt = 14 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left( \frac{t}{2} \right) dt. \]

В результате после интегрирования получаем: \[ L = 14 \cdot 2 = 28. \]

Ответ:

Длина дуги кривой равна \( L = 28 \).