Нахождение среднего значения функции на заданном отрезке

Это задание по математике, конкретно по интегральному исчислению.

Задание заключается в нахождении среднего значения функции на заданном отрезке. Чтобы найти среднее значение функции \( y = \sqrt{3x} + 1 \) на отрезке \([0, 5]\), нужно воспользоваться формулой для среднего значения функции на данном интервале: \[ \bar{y} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx \]

В данном случае:

• \( a = 0 \)
• \( b = 5 \)
• \( f(x) = \sqrt{3x} + 1 \)

Шаг 1: Записываем формулу для среднего значения функции:

\[ \bar{y} = \frac{1}{5 - 0} \int_0^5 (\sqrt{3x} + 1) \, dx \]

\[ \bar{y} = \frac{1}{5} \int_0^5 (\sqrt{3x} + 1) \, dx \]

Шаг 2: Интегрируем функцию \( f(x) = \sqrt{3x} + 1 \):

\[ \int_0^5 (\sqrt{3x} + 1) \, dx = \int_0^5 \sqrt{3x} \, dx + \int_0^5 1 \, dx \]

Шаг 3: Интегрируем каждую часть по отдельности. Интеграл от \( \sqrt{3x} \):

\[ \int \sqrt{3x} \, dx = \int (3x)^{1/2} \, dx \]

Чтобы вычислить данный интеграл, нужно использовать формулу интегрирования степенной функции \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \):

\[ \int (3x)^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} (3x)^{3/2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot (3x)^{3/2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \left( \frac{3}{2}x^{3/2} \right)= \frac{6}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}x \cdot\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{27} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \left. \frac{2}{3} (3x)^{3/2} \right|_0^5 = \frac{2}{3} (3 \cdot 5)^{3/2} \]

Интеграл от константы 1:

\[ \int 1 \, dx = x \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \left. x \right|_0^5 = 5 - 0 = 5 \]

Соединяя все части интегралов:

\[ \int_0^5 (\sqrt{3x} + 1) \, dx = \frac{2}{3} (3 \cdot 5)^{3/2} + 5 = \int_0^5 (\sqrt{3x} + 1) \, dx = 14 + 5 = 19 \]

Шаг 4: Подставляем найденное значение интеграла в формулу среднего значения:

\[ \bar{y} = \frac{1}{5} \cdot 5 = \frac{1}{5} \cdot 19 \]

Таким образом, среднее значение функции \( y = \sqrt{3x} + 1 \) на отрезке \([0, 5]\) равно:

\[ \bar{y} = 3,8 \]