Нахождение составных (или сложных) функций

Определение предмета:

Задание относится к математике, разделу математический анализ (или же алгебра, если это курс школьного уровня). Задача связана с нахождением составных (или сложных) функций. Дано два подзадания. Проанализируем и решим каждое.

Подзадача а)

\( f(x) = e^x \), \( g(x) = \ln(x) \)

Найдем \( f(g(x)) \):

Составная функция \( f(g(x)) \) строится по правилу: вместо \( x \) в \( f(x) \) подставляем \( g(x) \).

\[ f(g(x)) = f(\ln(x)) = e^{\ln(x)}. \]

Свойство логарифма гласит, что \( e^{\ln(x)} = x \) при \( x > 0 \).

Таким образом,

\[ f(g(x)) = x. \]

Найдем \( g(f(x)) \):

Составная функция \( g(f(x)) \) строится аналогично: вместо \( x \) в \( g(x) \) подставляем \( f(x) \).

\[ g(f(x)) = g(e^x) = \ln(e^x). \]

Свойство логарифма гласит, что \( \ln(e^x) = x \).

Таким образом,

\[ g(f(x)) = x. \]

Подзадача б)

\( f(x) = 3x + 1 \), \( g(x) = 2x - 5 \)

Найдем \( f(g(x)) \):

\[ f(g(x)) = f(2x - 5). \]

Подставляем \( g(x) = 2x - 5 \) в \( f(x) = 3x + 1 \):

\[ f(g(x)) = 3(2x - 5) + 1 = 6x - 15 + 1 = 6x - 14. \]

Таким образом,

\[ f(g(x)) = 6x - 14. \]

Найдем \( g(f(x)) \):

\[ g(f(x)) = g(3x + 1). \]

Подставляем \( f(x) = 3x + 1 \) в \( g(x) = 2x - 5 \):

\[ g(f(x)) = 2(3x + 1) - 5 = 6x + 2 - 5 = 6x - 3. \]

Таким образом,

Ответ:

1. \( f(g(x)) = x \), \( g(f(x)) = x \) (для подзадачи а).
2. \( f(g(x)) = 6x - 14 \), \( g(f(x)) = 6x - 3 \) (для подзадачи б).

\[ g(f(x)) = 6x - 3. \]