Нахождение производной дробно-рациональной функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Нам нужно найти производную функции:

y = \frac{5 + 3x + x^2}{5 - 3x + x^2}.

Для нахождения производной дробно-рациональной функции воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},
где u — числитель, v — знаменатель.

Шаг 1. Определим u и v:

u = 5 + 3x + x^2, \quad v = 5 - 3x + x^2.

Шаг 2. Найдем производные u' и v':

1. u' = \frac{d}{dx}(5 + 3x + x^2) = 3 + 2x.
2. v' = \frac{d}{dx}(5 - 3x + x^2) = -3 + 2x.

Шаг 3. Подставим в формулу для производной:

y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Подставляем u, v, u', v':

y' = \frac{(3 + 2x)(5 - 3x + x^2) - (5 + 3x + x^2)(-3 + 2x)}{(5 - 3x + x^2)^2}.

Шаг 4. Упростим числитель:

1. Раскроем скобки:

   • (3 + 2x)(5 - 3x + x^2) = 15 - 9x + 3x^2 + 10x - 6x^2 + 2x^3 = 15 + x - 3x^2 + 2x^3;
   • (5 + 3x + x^2)(-3 + 2x) = -15 - 9x - 3x^2 + 10x + 6x^2 + 2x^3 = -15 + x + 3x^2 + 2x^3.

2. Подставим в числитель: (15 + x - 3x^2 + 2x^3) - (-15 + x + 3x^2 + 2x^3).

3. Упростим: 15 + x - 3x^2 + 2x^3 + 15 - x - 3x^2 - 2x^3 = 30 - 6x^2.

Итак, числитель равен 30 - 6x^2.

Шаг 5. Запишем окончательный результат:

y' = \frac{30 - 6x^2}{(5 - 3x + x^2)^2}.

Ответ:
y' = \frac{30 - 6x^2}{(5 - 3x + x^2)^2}.