Предмет: математика, раздел: математический анализ, тема: производная функции, содержащая арктангенс.
Функция, представленная на изображении: \[ y = \arctg \left( \frac{x+1}{x-1} \right) \]
Задание чаще всего предусматривает нахождение производной данной функции. Давайте найдём её.
Шаги решения:
-
Производная арктангенса (или арктангенса) по общему правилу:
\[ \frac{d}{dx} \arctg u = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]
Где
\( u = \frac{x+1}{x-1} \).
-
Найдём производную
\( u \)
по
\( x \).
Это дробно-рациональная функция, поэтому воспользуемся правилом производной частного:
\[ u = \frac{x+1}{x-1} \]
Правило производной частного:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]
где
\( f(x) = x+1 \)
и
\( g(x) = x-1 \).
Найдём производные
\( f'(x) \)
и
\( g'(x) \):
\[ f'(x) = 1, \quad g'(x) = 1 \]
Теперь подставим в формулу производной частного:
\[ \frac{du}{dx} = \frac{(1) \cdot (x-1) - (x+1) \cdot (1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \]
-
Теперь воспользуемся общей формулой для производной арктангенса:
\[ y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2} \cdot \frac{du}{dx} \]
-
Посчитаем
\[ 1 + \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 \].
Вычисляем квадрат дроби:
\[ \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x-1)^2} \]
Тогда:
\[ 1 + \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 = 1 + \frac{x^2 + 2x + 1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 + x^2 + 2x + 1}{(x-1)^2} \]
Распишем числитель:
\[ (x-1)^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2 \]
Таким образом:
\[ 1 + \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 = \frac{2(x^2 + 1)}{(x-1)^2} \]
-
Соберем производную:
\[ y' = \frac{1}{\frac{2(x^2 + 1)}{(x-1)^2}} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2}{2(x^2 + 1)} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} \]
-
Сократим одинаковые множители:
\[ y' = \frac{-2}{2(x^2 + 1)} = -\frac{1}{x^2 + 1} \]
Ответ:
Производная функции \( y = \arctg \left( \frac{x+1}{x-1} \right) \) равна: