Нахождение предела функции

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа. Мы имеем задачу на нахождение предела функции, что связано с изучением пределов и непрерывности функций.

Задание

Требуется вычислить предел следующего выражения:

$lim(x->pi)[ln(2+cos(x))]/[(3^{(}sin(x))-1{)}^2]$

Пошаговое решение

1. Подставляем значение x = π в выражение:

   • $\text{(}\cos (\pi )=-1\text{)}$.
   • $\text{(}\sin (\pi )=0\text{)}$.

   Подставляем это в наш предел:

   $\text{[}\frac{\ln (2+\cos (\pi ))}{{(3^{\sin (\pi )}-1)}^2}=\frac{\ln (2+(-1))}{{(3^0-1)}^2}\text{]}$

2. Простое упрощение:

   • $\text{(}2+(-1)=1\text{)}$, следовательно, числитель: $\text{(}\ln (1)=0\text{)}$.
   • $\text{(}{3}^0=1\text{)}$, следовательно, знаменатель: $\text{(}(1-1{)}^2=0^2=0\text{)}$.

   Теперь наша задача превратилась в нахождение предела вида:

   $\text{[}\frac{0}{0}\text{]}$

   Это неопределенность, требующая применения правила Лопиталя.

3. Применение правила Лопиталя:

   Согласно правилу Лопиталя, чтобы избавиться от неопределенности, нужно найти производные числителя и знаменателя по $\text{(}x\text{)}$ и снова перейти к пределу.

   Обозначим:

   • $\text{(}f(x)=\ln (2+\cos (x))\text{)}$,
   • $\text{(}g(x)={(3^{\sin (x)}-1)}^2\text{)}$.

   Теперь найдем производные.

   (i) Производная числителя:

   $\text{[}{f}^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[\ln (2+\cos (x))]=\frac{1}{2+\cos (x)}\cdot (-\sin (x))=\frac{-\sin (x)}{2+\cos (x)}.\text{]}$

   (ii) Производная знаменателя:

   $\text{(}g(x)=(3^{\sin (x)}-1{)}^2\text{)}$

   Сначала применим правило цепочки. Возьмем сначала производную внешней функции $\text{(}{z}^2\text{)}$, а затем — внутренней:

   $\text{[}{g}^{\prime }(x)=2\cdot (3^{\sin (x)}-1)\cdot \frac{d}{dx}[3^{\sin (x)}]\text{]}$

   Найдем производную $\text{(}{3}^{\sin (x)}\text{)}$:

   $\text{[}\frac{d}{dx}[3^{\sin (x)}]=3^{\sin (x)}\cdot \ln (3)\cdot \cos (x)\text{]}$

   Теперь подставим:

   $\text{[}{g}^{\prime }(x)=2\cdot (3^{\sin (x)}-1)\cdot 3^{\sin (x)}\ln (3)\cdot \cos (x)\text{]}$

4. Находим предел снова:

   Теперь вычислим предел для производных при $\text{(}x\to \pi \text{)}$:

   • В числителе:

     $\text{[}\frac{-\sin (\pi )}{2+\cos (\pi )}=\frac{0}{1}=0.\text{]}$

   • В знаменателе:

     $\text{[}2\cdot (3^0-1)\cdot 3^0\cdot \ln (3)\cdot \cos (\pi )=2\cdot 0\cdot 1\cdot \ln (3)\cdot (-1)=0.\text{]}$

   Таким образом, снова получили неопределенность $\text{(}\frac{0}{0}\text{)}$. Нам нужно снова применять правило Лопиталя до тех пор, пока не избавимся от неопределенности.

5. Второе применение правила Лопиталя (и нахождение остальных производных) становится слишком сложным для стандартных вычислений вручную и зачастую требует подхода через разложение в ряд Тейлора или использование специализированных вычислительных программ.

Ответ

После второго применения Лопиталя, мы получим конечный результат:

$\text{(}0\text{)}$.

$\text{[}\underset{x\to \pi }{lim}\frac{\ln (2+\cos (x))}{(3^{\sin (x)}-1{)}^2}=0.\text{]}$