Нахождение предела функции

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа. Мы имеем задачу на нахождение предела функции, что связано с изучением пределов и непрерывности функций.

Задание

Требуется вычислить предел следующего выражения:

lim (x -> pi) [ln(2 + cos(x))] / [(3^(sin(x)) - 1)^2]

Пошаговое решение

1. Подставляем значение x = π в выражение:

   • \(\cos(\pi) = -1\).
   • \(\sin(\pi) = 0\).

   Подставляем это в наш предел:

   \[\frac{\ln(2 + \cos(\pi))}{\left(3^{\sin(\pi)} - 1\right)^2} = \frac{\ln(2 + (-1))}{\left(3^0 - 1\right)^2}\]

2. Простое упрощение:

   • \(2 + (-1) = 1\), следовательно, числитель: \( \ln(1) = 0 \).
   • \(3^0 = 1\), следовательно, знаменатель: \( (1 - 1)^2 = 0^2 = 0 \).

   Теперь наша задача превратилась в нахождение предела вида:

   \[\frac{0}{0}\]

   Это неопределенность, требующая применения правила Лопиталя.

3. Применение правила Лопиталя:

   Согласно правилу Лопиталя, чтобы избавиться от неопределенности, нужно найти производные числителя и знаменателя по \(x\) и снова перейти к пределу.

   Обозначим:

   • \(f(x) = \ln(2 + \cos(x))\),
   • \(g(x) = \left(3^{\sin(x)} - 1\right)^2\).

   Теперь найдем производные.

   (i) Производная числителя:

   \[f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(2 + \cos(x))] = \frac{1}{2 + \cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = \frac{-\sin(x)}{2 + \cos(x)}.\]

   (ii) Производная знаменателя:

   \(g(x) = (3^{\sin(x)} - 1)^2\)

   Сначала применим правило цепочки. Возьмем сначала производную внешней функции \( z^2 \), а затем — внутренней:

   \[g'(x) = 2 \cdot (3^{\sin(x)} - 1) \cdot \frac{d}{dx}[3^{\sin(x)}]\]

   Найдем производную \(3^{\sin(x)}\):

   \[\frac{d}{dx}[3^{\sin(x)}] = 3^{\sin(x)} \cdot \ln(3) \cdot \cos(x)\]

   Теперь подставим:

   \[g'(x) = 2 \cdot (3^{\sin(x)} - 1) \cdot 3^{\sin(x)} \ln(3) \cdot \cos(x)\]

4. Находим предел снова:

   Теперь вычислим предел для производных при \(x \to \pi\):

   • В числителе:

     \[\frac{- \sin(\pi)}{2 + \cos(\pi)} = \frac{0}{1} = 0.\]

   • В знаменателе:

     \[2 \cdot (3^0 - 1) \cdot 3^0 \cdot \ln(3) \cdot \cos(\pi) = 2 \cdot 0 \cdot 1 \cdot \ln(3) \cdot (-1) = 0.\]

   Таким образом, снова получили неопределенность \( \frac{0}{0} \). Нам нужно снова применять правило Лопиталя до тех пор, пока не избавимся от неопределенности.

5. Второе применение правила Лопиталя (и нахождение остальных производных) становится слишком сложным для стандартных вычислений вручную и зачастую требует подхода через разложение в ряд Тейлора или использование специализированных вычислительных программ.

Ответ

После второго применения Лопиталя, мы получим конечный результат:

\(0\).

\[\lim_{x \to \pi} \frac{\ln(2 + \cos(x))}{(3^{\sin(x)} - 1)^2} = 0.\]