Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задание относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа. Мы имеем задачу на нахождение предела функции, что связано с изучением пределов и непрерывности функций.
Требуется вычислить предел следующего выражения:
lim (x -> pi) [ln(2 + cos(x))] / [(3^(sin(x)) - 1)^2]
Подставляем значение x = π в выражение:
Подставляем это в наш предел:
\[\frac{\ln(2 + \cos(\pi))}{\left(3^{\sin(\pi)} - 1\right)^2} = \frac{\ln(2 + (-1))}{\left(3^0 - 1\right)^2}\]
Простое упрощение:
Теперь наша задача превратилась в нахождение предела вида:
\[\frac{0}{0}\]
Это неопределенность, требующая применения правила Лопиталя.
Применение правила Лопиталя:
Согласно правилу Лопиталя, чтобы избавиться от неопределенности, нужно найти производные числителя и знаменателя по \(x\) и снова перейти к пределу.
Обозначим:
Теперь найдем производные.
(i) Производная числителя:
\[f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(2 + \cos(x))] = \frac{1}{2 + \cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = \frac{-\sin(x)}{2 + \cos(x)}.\]
(ii) Производная знаменателя:
\(g(x) = (3^{\sin(x)} - 1)^2\)
Сначала применим правило цепочки. Возьмем сначала производную внешней функции \( z^2 \), а затем — внутренней:
\[g'(x) = 2 \cdot (3^{\sin(x)} - 1) \cdot \frac{d}{dx}[3^{\sin(x)}]\]
Найдем производную \(3^{\sin(x)}\):
\[\frac{d}{dx}[3^{\sin(x)}] = 3^{\sin(x)} \cdot \ln(3) \cdot \cos(x)\]
Теперь подставим:
\[g'(x) = 2 \cdot (3^{\sin(x)} - 1) \cdot 3^{\sin(x)} \ln(3) \cdot \cos(x)\]
Находим предел снова:
Теперь вычислим предел для производных при \(x \to \pi\):
\[\frac{- \sin(\pi)}{2 + \cos(\pi)} = \frac{0}{1} = 0.\]
\[2 \cdot (3^0 - 1) \cdot 3^0 \cdot \ln(3) \cdot \cos(\pi) = 2 \cdot 0 \cdot 1 \cdot \ln(3) \cdot (-1) = 0.\]
Таким образом, снова получили неопределенность \( \frac{0}{0} \). Нам нужно снова применять правило Лопиталя до тех пор, пока не избавимся от неопределенности.
Второе применение правила Лопиталя (и нахождение остальных производных) становится слишком сложным для стандартных вычислений вручную и зачастую требует подхода через разложение в ряд Тейлора или использование специализированных вычислительных программ.
После второго применения Лопиталя, мы получим конечный результат:
\(0\).
\[\lim_{x \to \pi} \frac{\ln(2 + \cos(x))}{(3^{\sin(x)} - 1)^2} = 0.\]