Нахождение предела

Это задание по математике, связанное с изучением предела функции. Пределы относятся к разделу математического анализа. Задано выражение для нахождения предела:

$\text{[}\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{3x-3}{\sqrt{8+x}-3}}\text{]}$

Шаг 1: Подстановка значения $\text{(}x=1\text{)}$

Попробуем подставить $\text{(}x=1\text{)}$ непосредственно в выражение:

$\text{[}{\displaystyle \frac{3(1)-3}{\sqrt{8+1}-3}}={\displaystyle \frac{3-3}{\sqrt{9}-3}}={\displaystyle \frac{0}{3-3}}={\displaystyle \frac{0}{0}}\text{]}$

Получаем неопределенность $\text{(}{\displaystyle \frac{0}{0}}\text{)}$. Поэтому можем применить один из методов для нахождения пределов, например, метод разложения на множители или правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Так как получена форма $\text{(}{\displaystyle \frac{0}{0}}\text{)}$, можно применить правило Лопиталя, которое гласит:

Если $\text{[}\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{0}{0}}или{\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}},\text{]}$ можно найти производные числителя и знаменателя и затем снова вычислить предел:

$\text{[}\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}\text{]}$

Шаг 3: Находим производные числителя и знаменателя

1. Производная числителя $\text{(}3x-3\text{)}$:

$\text{[}f(x)=3x-3,f^{\prime }(x)=3\text{]}$

2. Производная знаменателя $\text{(}\sqrt{8+x}-3\text{)}$:

$\text{[}g(x)=\sqrt{8+x}-3,g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8+x}}}\text{]}$

Теперь подставим производные в предел:

$\text{[}\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2\sqrt{8+x}}}}\text{]}$

Шаг 4: Подставим $\text{(}x=1\text{)}$

$\text{[}\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2\sqrt{9}}}}={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2\times 3}}}={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{6}}}=3\times 6=18\text{]}$

Ответ:

$\text{[}\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{3x-3}{\sqrt{8+x}-3}}=18\text{]}$