Нахождение предела

Это задание по математике, связанное с изучением предела функции. Пределы относятся к разделу математического анализа. Задано выражение для нахождения предела:

\[ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x - 3}{\sqrt{8 + x} - 3} \]

Шаг 1: Подстановка значения \( x = 1 \)

Попробуем подставить \( x = 1 \) непосредственно в выражение:

\[ \dfrac{3(1) - 3}{\sqrt{8 + 1} - 3} = \dfrac{3 - 3}{\sqrt{9} - 3} = \dfrac{0}{3 - 3} = \dfrac{0}{0} \]

Получаем неопределенность \( \dfrac{0}{0} \). Поэтому можем применить один из методов для нахождения пределов, например, метод разложения на множители или правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Так как получена форма \( \dfrac{0}{0} \), можно применить правило Лопиталя, которое гласит:

Если \[ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0} или \dfrac{\infty}{\infty}, \] можно найти производные числителя и знаменателя и затем снова вычислить предел:

\[ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

Шаг 3: Находим производные числителя и знаменателя

1. Производная числителя \( 3x - 3 \):

\[ f(x) = 3x - 3, \quad f'(x) = 3 \]

2. Производная знаменателя \( \sqrt{8 + x} - 3 \):

\[ g(x) = \sqrt{8 + x} - 3, \quad g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{8 + x}} \]

Теперь подставим производные в предел:

\[ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3}{\frac{1}{2\sqrt{8 + x}}} \]

Шаг 4: Подставим \( x = 1 \)

\[ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3}{\frac{1}{2\sqrt{9}}} = \dfrac{3}{\frac{1}{2 \times 3}} = \dfrac{3}{\frac{1}{6}} = 3 \times 6 = 18 \]

Ответ:

\[ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x - 3}{\sqrt{8 + x} - 3} = 18 \]