Нахождение первых n ненулевых членов разложения функции в точке в ряд Тейлора

Предмет: Математика

Раздел: Мат. анализ, ряды Тейлора

Задание заключается в нахождении первых \(n\) ненулевых членов разложения функции \( y = f(x) \) в точке \(x_0\) в ряд Тейлора.

Формула разложения функции в ряд Тейлора:

Ряд Тейлора для функции в точке \(x_0\) имеет следующий вид:

\[ f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \dots \]

1. Функция \( y = x^5 - 3x^3 + x \), \( x_0 = 1 \), \( n = 6 \)

Для начала найдем нужное количество производных функции:

\[ f(x) = x^5 - 3x^3 + x \]

1-я производная:

\[ f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 1 \]

2-я производная:

\[ f''(x) = 20x^3 - 18x \]

3-я производная:

\[ f^{(3)}(x) = 60x^2 - 18 \]

4-я производная:

\[ f^{(4)}(x) = 120x \]

5-я производная:

\[ f^{(5)}(x) = 120 \]

6-я производная:

\[ f^{(6)}(x) = 0 \]

Теперь вычислим значения этих производных в точке \(x_0 = 1\):

\[ f(1) = 1^5 - 3*1^3 + 1 = -1 \]

\[ f'(1) = 5(1)^4 - 9(1)^2 + 1 = -3 \]

\[ f''(1) = 20(1)^3 - 18(1) = 2 \]

\[ f^{(3)}(1) = 60(1)^2 - 18 = 42 \]

\[ f^{(4)}(1) = 120(1) = 120 \]

\[ f^{(5)}(1) = 120 \]

Теперь подставим все это в формулу Тейлора, сохраняя до \(n = 6\)-го члена:

\[ f(x) = -1 + (-3)(x - 1) + \frac{2}{2!}(x - 1)^2 + \frac{42}{3!}(x - 1)^3 + \frac{120}{4!}(x - 1)^4 + \frac{120}{5!}(x - 1)^5 \]

Приведем выражение к более компактному виду:

\[ f(x) = -1 - 3(x - 1) + (x - 1)^2 + 7(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5 \]

Таким образом, разложение функции \(y = x^5 - 3x^3 + x\) в ряд Тейлора до 6 ненулевых членов выглядит так:

\[ f(x) = -1 - 3(x - 1) + (x - 1)^2 + 7(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5 \]

2. Функция \( y = \frac{1}{2 - x} \), \(x_0 = -3\), \(n = 4\)

Для этой функции будем выполнять аналогичные шаги. Укажу сразу результат.