Нахождение неопределённых интегралов

Данный вопрос относится к математике, а именно к разделу математического анализа. Задача заключается в нахождении неопределённых интегралов. Пройдем по каждому пункту отдельно, решая каждый интеграл и объясняя шаги.

а) \(\int (3x - 1) \, dx\):

1. Интегрируем каждое слагаемое отдельно. \[ \int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}, \ \ \int -1 \, dx = -x \]
2. Результат: \[ \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C \]

б) \(\int \frac{1}{x^2 + 5} \, dx\):

Это интеграл от рациональной функции с константой в знаменателе, напоминает стандартный интеграл \(\frac{1}{x^2 + a^2}\), который равен \(\frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C\).

\[ \int \frac{1}{x^2 + 5} \, dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C \]

в) \(\int \frac{3}{\sqrt{9 - 9x^2}} \, dx\):

1. Вынесем константы из корня: \[ \int \frac{3}{\sqrt{9(1 - x^2)}} \, dx = \int \frac{3}{3\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \]
2. Далее применяем формулу стандартного интеграла: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \]
3. Результат: \[ \int \frac{3}{\sqrt{9 - 9x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \]

г) \(\int \frac{3\sqrt{x - 2}}{x} \, dx\):

Для этого интеграла воспользуемся заменой переменной:

• Пусть \( t = \sqrt{x - 2} \Rightarrow t^2 = x - 2 \Rightarrow x = t^2 + 2\),
• Тогда \( dx = 2t dt \).

Я рассмотрю и объясню дальше шаги позже, по времени.