Нахождение наибольшего значения функции на заданном интервале

Задание относится к предмету «Математический анализ»

И конкретная задача — это нахождение наибольшего значения функции на заданном интервале.

Предметный раздел: Исследование функции на экстремумы.

Шаги решения задачи №2:

Нам нужно найти наибольшее значение функции \( y = 2x^2 - 9x + 4 \) на отрезке \( [2; 3] \).

1. Запишем функцию: \( y = 2x^2 - 9x + 4 \).
2. Найдём критические точки функции. Для этого найдём производную функции \( y'(x) \) и приравняем её к нулю: \[ y'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 - 9x + 4 \right) = 4x - 9. \] Найдём корень: \[ 4x - 9 = 0, \] \[ x = \frac{9}{4} = 2.25. \]
3. Проверим принадлежность критической точки отрезку \( [2; 3] \): Корень \( x = 2.25 \) принадлежит отрезку \( [2; 3] \), поэтому будем учитывать эту точку при нахождении наибольшего значения.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 2(2)^2 - 9(2) + 4 = 8 - 18 + 4 = -6. \]
   • Для \( x = 3 \): \[ y(3) = 2(3)^2 - 9(3) + 4 = 18 - 27 + 4 = -5. \]
   • Для \( x = 2.25 \): \[ y(2.25) = 2(2.25)^2 - 9(2.25) + 4 = 2(5.0625) - 20.25 + 4 = 10.125 - 20.25 + 4 = -6.125. \]
5. Определим наибольшее значение:

   Значения функции в точках:

   • \( y(2) = -6 \),
   • \( y(3) = -5 \),
   • \( y(2.25) = -6.125 \).
   Наибольшее значение функции на отрезке \( [2; 3] \) равно \( -5 \), оно достигается при \( x = 3 \).

Ответ:

Наибольшее значение функции \( y = 2x^2 - 9x + 4 \) на отрезке \( [2; 3] \) равно \( -5 \).