Нахождение мнимой части комплексного числа, представленного в показательной форме

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к математике, а конкретно к разделу "Комплексные числа и их алгебраические формы".

Задача включает нахождение мнимой части комплексного числа $\text{(}z\text{)}$, представленного в показательной форме.

Решение:

Нам нужно найти мнимую часть числа $\text{(}z=4e^{i\cdot \frac{5\pi }{6}}\text{)}$ и представить его в алгебраической форме (в виде суммы действительной и мнимой части).

Число $\text{(}z\text{)}$ задано в экспоненциальной форме. Применим формулу Эйлера для перехода от экспоненциальной формы комплексного числа к тригонометрической:

$\text{[}z=r\cdot e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\text{]}$

В нашем случае $\text{(}r=4\text{)}$ и $\text{(}\varphi =\frac{5\pi }{6}\text{)}$.

Теперь представим это выражение в алгебраической форме:

$\text{[}z=4(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})\text{]}$

Найдем значения тригонометрических функций:

$\text{[}\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}\text{]}$

Подставляем значения в выражение для $\text{(}z\text{)}$:

$\text{[}z=4(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2})\text{]}$

Умножаем на 4:

$\text{[}z=-2\sqrt{3}+2i\text{]}$

Теперь можем выделить мнимую часть:

$\text{[}\mathrm{\Im }(z)=2\text{]}$

Ответ:

Мнимая часть числа $\text{(}z\text{)}$ равна 2.

Алгебраическая форма:

$\text{(}z=-2\sqrt{3}+2i\text{)}$