Нахождение мнимой части комплексного числа, представленного в показательной форме

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к математике, а конкретно к разделу "Комплексные числа и их алгебраические формы".

Задача включает нахождение мнимой части комплексного числа \( z \), представленного в показательной форме.

Решение:

Нам нужно найти мнимую часть числа \( z = 4e^{i \cdot \frac{5\pi}{6}} \) и представить его в алгебраической форме (в виде суммы действительной и мнимой части).

Число \( z \) задано в экспоненциальной форме. Применим формулу Эйлера для перехода от экспоненциальной формы комплексного числа к тригонометрической:

\[ z = r \cdot e^{i \phi} = r (\cos \phi + i \sin \phi) \]

В нашем случае \( r = 4 \) и \( \phi = \frac{5\pi}{6} \).

Теперь представим это выражение в алгебраической форме:

\[ z = 4 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right) \]

Найдем значения тригонометрических функций:

\[ \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

Подставляем значения в выражение для \( z \):

\[ z = 4 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\right) \]

Умножаем на 4:

\[ z = -2 \sqrt{3} + 2i \]

Теперь можем выделить мнимую часть:

\[ \Im(z) = 2 \]

Ответ:

Мнимая часть числа \( z \) равна 2.

Алгебраическая форма:

\( z = -2 \sqrt{3} + 2i \)