Нахождение корней уравнений с использованием системы Штурма

Задание связано с математическим анализом, а конкретнее — с исследованием корней многочленов. Это относится к курсу высшей математики и конкретно к разделу, связанному с методами нахождения корней уравнений с использованием системы Штурма.

Система Штурма — это метод нахождения количества действительных корней многочлена на заданном интервале, где используются многочлены, входящие в ее состав.

Условия системы Штурма:

1. Многочлены системы Штурма должны быть без общих корней. Это условие необходимо для обеспечения корректности работы метода, так как пересечения многочленов могут исказить результат подсчета. Соответственно, утверждение о том, что "соседние многочлены системы не имеют общих корней", является правильным.
2. Последний многочлен системы Штурма должен иметь степень 0. Данное условие точно характеризует окончание построения системы Штурма. Последний многочлен в системе Штурма должен быть константой (т.е. иметь степень 0). Это условие также правильно.
3. При переходе через корень α многочлена \( f(x) \), произведение \( f(x) \cdot f_1(x) \) меняет знак. Это верное условие для системы Штурма. Когда \( x \) проходит через точку корня \( α \), происходит изменение знака произведения первых двух многочленов (\( f(x) \cdot f_1(x) \) изменяет знак с минуса на плюс или наоборот).

Неверные утверждения:

• "Если \( \alpha \) действительный корень одного из промежуточных многочленов \( f_k(x) \), то \( f_{k-1}(\alpha) \) и \( f_{k+1}(\alpha) \) имеют одинаковые знаки". Данное утверждение не является условием системы Штурма и его следует исключить.

Итог: Верные условия для системы Штурма:

• Соседние многочлены системы не имеют общих корней.
• Последний многочлен имеет нулевую степень.
• Если \( \alpha \) — действительный корень многочлена \( f(x) \), то произведение \( f(x) \cdot f_1(x) \) меняет знак, когда \( x \) проходит через \( \alpha \).