Нахождение экстремумов и анализ монотонности функции

Определение предмета и раздела

Данная задача относится к математике, а точнее к её разделу, который называется математический анализ, а именно задача на нахождение экстремумов и анализ монотонности функции.

Постановка задачи

Найдём экстремумы и интервалы монотонности функции: \[ y = \frac{x}{x^2 - 6x - 16} \]

Шаг 1. Поиск области определения функции

Функция представляет собой дробь, и к области её определения нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.

1. Для этого решим уравнение \( x^2 - 6x - 16 = 0 \).

Найдем корни используя дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 36 + 64 = 100, \]

\[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2. \]

Значит, при \( x = 8 \) и \( x = -2 \) функция имеет разрывы, то есть область определения — это интервал с исключением этих точек:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, +\infty). \]

Шаг 2. Поиск производной функции

Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции нужно найти её производную. Воспользуемся правилом дифференцирования дробной функции (правило Лейбница). Функция имеет вид:

\[ y = \frac{u(x)}{v(x)}, \]

где \( u(x) = x \), а \( v(x) = x^2 - 6x - 16 \).

Производная дроби \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) находится по формуле:

\[ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}. \]

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

1. \( u'(x) = 1 \),
2. \( v(x) = x^2 - 6x - 16 \), значит \( v'(x) = 2x - 6 \).

Теперь подставим эти данные в формулу:

\[ y' = \frac{1 \cdot (x^2 - 6x - 16) - x \cdot (2x - 6)}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{x^2 - 6x - 16 - (2x^2 - 6x)}{(x^2 - 6x - 16)^2}, \]

\[ y' = \frac{x^2 - 6x - 16 - 2x^2 + 6x}{(x^2 - 6x - 16)^2}, \]

\[ y' = \frac{-x^2 - 16}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \]

Итак, производная функции:

\[ y' = \frac{-(x^2 + 16)}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \]

Шаг 3. Исследование производной

Теперь проанализируем знак производной. Заметим, что числитель \( -(x^2 + 16) \) всегда отрицателен, так как \( x^2 + 16 > 0 \) для всех \( x \). Знаменатель \( (x^2 - 6x - 16)^2 \) всегда положителен, потому что квадрат любого числа положителен.

Таким образом, для всех \( x \) производная \( y'(x) \) отрицательна:

\[ y'(x) < 0 \quad \forall x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, +\infty). \]

Шаг 4. Интервалы монотонности

Так как \( y'(x) < 0 \) на всех интервалах, где определена функция, это означает, что функция убывающая на всех этих интервалах:

\[ (-\infty, -2), \quad (-2, 8), \quad (8, +\infty). \]

Шаг 5. Поиск экстремумов

Ответ:

1. Экстремумов нет.
2. Функция убывает на всех промежутках, где она определена: \( (-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, +\infty) \).

Так как производная не меняет знак на этих интервалах, функция не имеет точек экстремумов.