Нахождение экстремумов функции двух переменных

```html

Это задача из области математического анализа, а точнее из раздела нахождения экстремумов функции двух переменных. Функция \( Z(x, y) = xy^2 (1 - x - y) \).

Для нахождения экстремумов функции двух переменных будем следовать следующим шагам:

1. Найти частные производные первого порядка и приравнять их к нулю: \[ Z_x = \frac{\partial Z}{\partial x} \] \[ Z_y = \frac{\partial Z}{\partial y} \]
2. Найти критические точки: Решить системы уравнений, полученных в шаге 1.
3. Определить характер критических точек: Использовать вторые производные и дискриминант для того, чтобы определить, является ли каждая из критических точек точкой максимума, минимума или седловой точкой.

Шаг 1: Найти частные производные

Найдём частные производные \( Z \) по переменным \( x \) и \( y \):

\[ Z = xy^2 (1 - x - y) \] \[ Z_x = \frac{\partial }{\partial x} (xy^2 (1 - x - y)) \]

Применим правило произведения:

\[ Z_x = y^2 (1 - x - y) + xy^2 (-1) \] \[ Z_x = y^2 (1 - x - y) - xy^2 \] \[ Z_x = y^2 - xy^2 - y^3 \]

Найдём частную производную по переменной \( y \):

\[ Z_y = \frac{\partial }{\partial y} (xy^2 (1 - x - y)) \]

Применим правило произведения:

\[ Z_y = x (2y(1 - x - y) + y^2(-1)) \] \[ Z_y = x (2y - 2xy - 2y^2 - y^2) \] \[ Z_y = x (2y - 2xy - 3y^2) \] \[ Z_y = 2xy - 2x^2y - 3xy^2 \]

Шаг 2: Найти критические точки

Приравняем частные производные к нулю для нахождения критических точек:

\[ y^2 - xy^2 - y^3 = 0 \] \[ y^2(1 - x - y) = 0 \]

\( y^2 = 0 \) или \( 1 - x - y = 0 \)

Для \( y \neq 0 \):

\[ 1 - x - y = 0 \]

Теперь решим систему уравнений:

\[ 2xy - 2x^2y - 3xy^2 = 0 \] \[ xy(2 - 2x - 3y) = 0 \]

Для \( x \neq 0 \) и \( y \neq 0 \):

\[ 2 - 2x - 3y = 0 \]

Шаг 3. Определение критических точек

Решим систему уравнений одновременно:

\[ 1 - x - y = 0 \]

Из первого уравнения:

\[ y = 1 - x \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 2 - 2x - 3(1 - x) = 0 \] \[ 2 - 2x - 3 + 3x = 0 \] \[ -1 + x = 0 \] \[ x = 1 \]

Значит, \( y = 0 \). Итак, получена одна критическая точка: \( (1, 0) \).

Проверка второго условия \( y = 0 \):

\[ для \; Z_y: \] \[ y=0 \]

Тогда из уравнения

\[ 2 - 2x = 0 \] \[ x = 1 \]

С другой стороны

\[ \; Z_x = 0 \] \[ (x = 1), (y =0) - решение, поэтому ( 1, 0) критическая точка \]

Шаг 4 (по выбору): Характер критическ... ```