Нахождение экстремума функционала с граничными условиями

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, а конкретно — к разделу вариационного исчисления, где исследуются экстремумы функционалов. Задание предполагает нахождение экстремума функционала $\text{(}\mathcal{J}[y]={\int }_0^1{y}^{\prime 2}(x)dx\text{)}$ с граничными условиями $\text{(}y(0)=1\text{)}$ и $\text{(}y(1)=0\text{)}$.

Шаги для решения:

Для нахождения функционала экстремума используются уравнения Эйлера-Лагранжа.

Шаг 1: Определим функционал

$\text{[}\mathcal{J}[y]={\int }_0^1{y}^{\prime 2}(x)dx.\text{]}$ Здесь $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ — это производная функции $\text{(}y(x)\text{)}$ по переменной $\text{(}x\text{)}$.

Шаг 2: Применение уравнения Эйлера-Лагранжа

Функция Лагранжа здесь: $\text{[}F(y,y^{\prime },x)=y^{\prime 2}(x).\text{]}$ Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид: $\text{[}\frac{d}{dx}\left(\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }{y}^{\prime }}\right)-\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}=0.\text{]}$ Сначала находим частные производные: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }{y}^{\prime }}=2y^{\prime }(x),\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}=0.\text{]}$ Таким образом, уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид: $\text{[}\frac{d}{dx}(2y^{\prime }(x))=0.\text{]}$ Упрощаем: $\text{[}2y^{″}(x)=0,y^{″}(x)=0.\text{]}$

Шаг 3: Решение уравнения

Уравнение $\text{(}{y}^{″}(x)=0\text{)}$ означает, что функция $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ — это константа: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=C_1.\text{]}$ Интегрируем это уравнение, чтобы получить $\text{(}y(x)\text{)}$: $\text{[}y(x)=C_{1}x+C_2.\text{]}$

Шаг 4: Определение констант

Используем граничные условия:

• $\text{(}y(0)=1\text{)}$,
• $\text{(}y(1)=0\text{)}$.

Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, функция, которая экстремизирует данный функционал, имеет вид: $\text{[}y(x)=-x+1.\text{]}$ Это и есть искомое решение задачи.