Нахождение экстремума функционала с граничными условиями

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, а конкретно — к разделу вариационного исчисления, где исследуются экстремумы функционалов. Задание предполагает нахождение экстремума функционала \( \mathcal{J}[y] = \int_0^1 y'^2(x) \, dx \) с граничными условиями \( y(0) = 1 \) и \( y(1) = 0 \).

Шаги для решения:

Для нахождения функционала экстремума используются уравнения Эйлера-Лагранжа.

Шаг 1: Определим функционал

\[ \mathcal{J}[y] = \int_0^1 y'^2(x) \, dx. \] Здесь \( y'(x) \) — это производная функции \( y(x) \) по переменной \( x \).

Шаг 2: Применение уравнения Эйлера-Лагранжа

Функция Лагранжа здесь: \[ F(y, y', x) = y'^2(x). \] Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) - \frac{\partial F}{\partial y} = 0. \] Сначала находим частные производные: \[ \frac{\partial F}{\partial y'} = 2y'(x), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 0. \] Таким образом, уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид: \[ \frac{d}{dx} \left( 2y'(x) \right) = 0. \] Упрощаем: \[ 2y''(x) = 0, \quad y''(x) = 0. \]

Шаг 3: Решение уравнения

Уравнение \( y''(x) = 0 \) означает, что функция \( y'(x) \) — это константа: \[ y'(x) = C_1. \] Интегрируем это уравнение, чтобы получить \( y(x) \): \[ y(x) = C_1x + C_2. \]

Шаг 4: Определение констант

Используем граничные условия:

• \( y(0) = 1 \),
• \( y(1) = 0 \).

Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, функция, которая экстремизирует данный функционал, имеет вид: \[ y(x) = -x + 1. \] Это и есть искомое решение задачи.